Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/05/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:27 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:24:43 2012 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

39

чем дальше, тем больше понадобится знаков целой части, так что лучше уж писать простые приближенные формулы, чем нагромождать квадратные скобки.) Когда вычеркнем каждое четвертое из оставшихся чисел, останется примерно 3 3/4 предыдущего количества, т.е. N/3 = N/4. И вообще, 4 после вычеркивания каждого k-го числа останется примерно n = N/k чисел. Казалось бы, все уже сделано: мы помним, что вычисле2 ния заканчиваются в момент, когда k > n, т.е. k > N. Значит, k-й член последовательности должен быть примерно 2 2 равен k . Только вот правильного ответа k 4 такое простое рассуждение никак не дает! Почему не дает? Из-за многократно повторенных слов 'примерно' и 'приблизительно'. Заменяя целую часть числа самим этим числом, мы делаем не очень большую не больше 1 ошибку. Но за k шагов ошибки накапливаются и оказываются по величине сравнимы с самой исследуемой величиной. Обратите внимание: в начале вычислений k невелико, а N/k огромно, так что относительная ошибка невелика, а с ростом k и соответственным уменьшением величины N/k относительная ошибка возрастает! Что происходит в конце вычислений? В самый последний момент число k оказывается равно количеству n уцелевших к этому моменту чисел. Перед этим довольно продолжительное время k приблизительно равно n и потому на каждом таком k-м шаге вычеркиваем по одному числу. Перед этим несколько более короткое, но тоже продолжительное время вычеркиваем по два числа, перед этим по три числа, и так далее. Давайте придадим этому более точную форму. Пусть самый последний шаг вычеркивание j-го числа из j уцелевших к этому моменту. Тогда перед ним вычеркнули (j 1)-е число из j + 1, при этом было k = j 1 и n = j + 1. Чуть раньше k = j 2 и n = j + 2, еще раньше k = j 3 и n = j + 3. Вообще, если идти с конца к началу, то до тех пор, пока вычеркивали по одному числу, выполнялись равенства k = j a и n = j + a. Переход на другой режим происходит в момент, когда 2 j - a j + a, т.е. когда a j 3 . При этом 2 k j и n 2k . (Разумеется, можно было бы получить не 3 приближенные, а точные формулы. Но дальнейшие рассуждения все равно потребуют приближенных формул, так что мы обойдемся без лишних квадратных скобок.) 4 2 Теперь ясно, что формулы k j b и n j + 2b 3 3 описывают процесс на той стадии, когда вычеркиваем по два числа. Переход на режим вычеркивания по три числа

немало огрехов, но искоренять их как-то не поднимается рука: не навредить бы!'. В общем, он поступил как инженер, которому некогда разбираться с тонкостями математических формул и который поэтому не постесняется умножить или разделить полученный ответ на 2 или на что-нибудь другое, если после этого ответ будет лучше соответствовать экспериментальным данным. А дело в том, что формулы k cm j и n m + 1 k довольно точны при маленьких m и теряют точность при возрастании m. Эффект такой же, какой мы уже наблюдали, когда рассматривали процесс от начала к концу: ошибка накапливается и оказывается при больших m сопоставимой с самой исследуемой величиной.

b

g

Стыковка Что же делать, если и при рассмотрении от начала к концу, и при рассмотрении от конца к началу успевает накопиться ошибка? Любой строитель подземного тоннеля знает ответ: надо пустить их навстречу друг другу! В момент стыковки 22 k cm j и N k m + 1 cm j , откуда N m + 1 cm j . В силу формулы Валлиса, m + 1 c 4 , так что мы получили в точности то, что требовалось. И заметьте: никакого обмана и обсчета читателей! Доказательство формулы Валлиса Использовать формулу Стирлинга m ! m e 2 m для доказательства формулы Валлиса я не буду, поскольку самое известное и простое доказательство формулы Стирлинга состоит именно в том, что сначала доказывают соотm ношение m ! k m m e с некоторым неизвестным коэффициентом k, а затем из формулы Валлиса находят k = 2 . Я сделаю проще: как рекомендуют с давних пор по этому поводу учебники математического анализа, рассмотрю

b

b

g

g

2 m

b

g

bg

m

bg

am =

z
0

sin xdx.

m

b

g

Тогда a0 = и a1 = 2. Далее интегрирование по частям в стиле вытягивающего себя за волосы из болота Мюнхгаузена:

am

+1

=

z
0

sin

m +1

+ m cos x sin
0

z


x dx = - sin m xd cos x = - sin m x cos x 0 +
0 m -1

z




2

x dx = m

z
0

c1

- sin2 x sin

h

m -1

x dx =
-1

4 2 j - b j + 2b, из которого 3 3 12 24 находим b j , откуда k j и n 3k . 53 35 Продолжая рассуждать в том же духе и обозначая для 24 2m K краткости cm = , находим, что переход 35 2m + 1 между режимами вычеркивания по m и по m + 1 чисел происходит при k cm j и n m + 1 k . Сознательно сделав несколько вычислительных ошибок, Акулич смог из этих формул получить число 4 . Будучи честным человеком, он сам обратил внимание читателей на эти передергивания и признал, что 'рассуждения имеют
соответствует равенству 3

FG H

IJ K

= mam

- mam +1,

откуда

a

m +1

=

m m+1

am -1 .

b

g

1 2 2 Теперь легко находим a2 = a0 = , a3 = a1 = 2 , 2 3 3 2 3 13 a4 = a2 = , и вообще 4 24 13 2m - 1 24 2m , a2 m+1 = 2 K a2 m = K . 24 2m 35 2m + 1
Какое отношение все эти интегралы имеют к формуле Валлиса? Самое прямое: из неравенств

a2

m -1

> a2 m > a2

m +1