Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/18.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:00 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:47 2012 Кодировка: Windows-1251

М1650*. На плоскости нарисован граф без циклов Г. Известно, что граф , полученный из Г параллельным переносом на вектор (1, 0), не пересекается с Г. На графе Г отмечены две различные точки А и В, в которых в начальный момент времени сидели два жука. Ползая по графу, жуки через некоторое время снова оказались в точках А и В, но при этом поменялись местами. Докажите, что в некоторый момент времени расстояние между жуками было меньше 1.
Итак, пусть жуки образуют пару (х, у), т.е. первый находится в точке х, второй в точке у. Нам надо доказать, что, двигая жуков, как указано в задаче, мы не можем из пары (х, у) получить пару (у, х). Для этого мы придумаем такую функцию от х, у, что она непрерывна по х и у, для всех разрешенных положений х и у она не равна нулю, и если для пары (х, у) она больше нуля, то для пары (у, х) меньше. Тогда, очевидно, из пары (х, у) нельзя получить пару (у, х). Построим требуемую функцию. Нарисуем на плоскости графы Г и (перенос графа Г на вектор a ). Представим себе, что из х в у по графу Г проползла жужелица, а из y в x по графу одновременно с жужелицей прополз таракан. Посмотрим, на какой угол при этом повернулся вектор ЖТ (угол считаем ориентированным: угол пово рота корректно определен, поскольку вектор ЖТ всегда не ноль). Можно показать, что величина этого угла зависит только от точек х и у, т.е. не зависит от конкретного способа, которым ползли жужелица и таракан. Докажем, что указанный угол непрерывно зависит от х и у. В самом деле, возьмем точку x1 и представим себе, что жужелица сначала проползла из x1 в х, таракан при этом стоял, а потом жужелица проползла их х в у, а таракан из y в x . Поворот вектора ЖТ на первом этапе непрерывно зависит от x1 . Аналогичное рассуждение подходит и для у. Теперь докажем, что если расстояние между х и у больше 1, то поворот вектора не равен нулю. В самом деле, точки х, у, y , x образуют параллелограмм, следовательно, если векторы xy и yx сонаправлены, имеем xy = = xy + a , yx = xy + a , значит, xy должен быть коллинеарен с a и меньше a по модулю. Доказательство завершено. А.Скопенков, Г.Челноков


Ускорение точки В по горизонтали в направлении движения шарнира Б равно половине ускорения этого шарнира, т.е. 0,5 а. Обозначим вертикальную составляющую ускорения шарнира В буквой b. Если мы найдем эту величину, задача будет практически решена. Для нахождения величины b заметим, что точка В движется по окружности радиусом L, и мы можем воспользоваться формулой для центростремительного ускорения. Но для этого нужно знать скорость точки В в интересующий нас момент времени. Найдем вначале скорость точки Б: длина пройденного этой точкой пути равна 2L sin = a2 2 , откуда vБ = a = 4 aL sin . Скорость точки В обозначим ее величину через u перпендикулярна стержню АВ, а ее горизонтальная составляющая u cos равна 0,5 vБ = 0,5 4 aL sin = = aL sin . Отсюда получаем

b

g

aL sin . cos Для нахождения величины b используем центростремительную составляющую ускорения точки В: u= b cos -
откуда

1 2

a sin =

u

2

L

=

aL sin L cos2

,

b=a

FG H

1 1 3 + tg = a + tg 2 tg . 2 cos2 2

IJ K

FG H

IJ K

Мы нашли обе составляющие ускорения шарнира В. Его полное ускорение равно

aB =

b+

2

a

2

4

. З.Рафаилов

КВАНT 1999/?1

Ф1658. Из четырех одинаковых тонких стержней длиной L каждый сделали ромб, скрепив их концы шарнирно (см. рисунок). Шарнир А закреплен, противоположный шарнир Б двиB гают вдоль диагонали ромба с постоянным ускорением а. Вначале упомянутые противоположные вершины находятся близко друг к другу, а скорость точки Б равна нулю. Какое ускореA Б a ние будет иметь шарнир В в тот момент, когда стержни АВ и ВБ составят угол 2 ? Считайте движение всех точек плоским.
18

Ф1659. Тележка массой m движется по горизонтально расположенным рельсам со скоростью v (см. рисунок). Рельсы дальше идут вниз m и плавно переходят в v новый горизонтальный M участок, находящийся H на Н ниже. Тележка наезжает на неподвижный вагон массой М, стоящий на нижнем горизонтальном участке, и между тележкой и вагоном происходит абсолютно упругий удар. При какой начальной скорости v тележка после удара вновь сможет подняться на верхний горизонтальный участок? Трение отсутствует.
Скорость спустившейся тележки найдем из закона сохранения энергии: u1 = v 2 + 2 gH . Для того чтобы подняться обратно на горку, тележка должна иметь в направлении горки скорость не меньшую чем u2 = 2 gH . Это возможно только в том случае, когда масса налетающей тележки меньше массы неподвижного вагона, в противном случае оба тела после упругого удара будут удаляться от горки. Рассмотрим граничный случай скорость тележки наверху равна минимально необходимой для выполнения условия задачи. Тогда скорость тележки после удара в точности равна u2 . Из закона сохранения импульса найдем