Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/46.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:55 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА

колеблющихся
величин
А.ОВЧИННИКОВ, В.ПЛИС
ния важнейший вид механического движения. Поэтому полезно обратить внимание на некоторые особые свойства этого движения. Известно, что при гармонических колебаниях смещение х тела от положения равновесия зависит от времени t по закону
x = X cos t + .
АРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБА-

Об амплитудах

ется в виде
x
2

(3) + = const . 2 2 Продифференцировав это равенство по времени, получим дифференциальное уравнение

x

@E

2

x +



x = 0,

Формулы (1) и (2) можно получить по-другому. Их вывод основан на том, что если точка С равномерно с линейной скоростью V и угловой скоростью движется по окружности радиусом Х (рис.1), то ее проекция В на координатную ось ОХ совершает гармоничес-

где x вторая производная от х по времени, т.е. проекция ускорения ax . Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решением этого уравнения является функция
x = X cos t + ,

>

C

aN A

C

vN V XX

причем для циклической частоты находим = . (4) Таким образом, приходим к выводу, что если энергия исследуемой системы описывается формулой (3), то движение является гармоническим колебанием с циклической частотой, определяемой соотношением (4). Теперь обсудим несколько конкретных задач. Задача 1. К пружине жесткостью k, один конец которой закреплен, подве-

>

C

Здесь Х величина максимального смещения, т.е. амплитуда смещения тела от положения равновесия, ( t + + ) фаза колебаний, циклическая (круговая) частота колебаний, начальная фаза колебаний. Дифференцирование смещения х по времени t позволяет найти проекцию скорости v x колеблющегося тела на координатную ось ОХ:
vx = - X sin t + .

Ox B

Рис. 1

>

C

Произведение величин Х и в правой части этого равенства имеет смысл величины максимальной скорости V, т.е. амплитуды скорости колеблющегося тела. Таким образом, амплитуды скорости и смещения связаны соотношением
V = X .

(1)

Дифференцируя проекцию v x скорости по времени t, находим проекцию ax ускорения колеблющегося тела на ось ОХ:
КВАНT 1999/?1

ax = - X cos t + .
Произведение величин Х и в правой части равенства это величина максимального ускорения А, т.е. амплитуды ускорения колеблющегося тела. Иными словами, амплитуды ускорения и смещения связывает выражение
A = X .
2 2

2

>

C

кие колебания с циклической частотой . Из кинематики движения по окружности известно, что линейная скорость V, угловая скорость и радиус вращения Х связаны соотношением, совпадающим с соотношением (1), а центростремительное ускорение А выражается через радиус Х и квадрат угловой скорости формулой, совпадающей с выражением (2). Обратим внимание еще на одно важное свойство гармонических колебаний. При рассмотрении колебаний в механике часто удобнее их описывать не на языке сил, а на языке энергий. Допустим, исследуемая система такова, что ее потенциальная и кинетическая энергии описываются формулами

k g

m

Рис. 2

Ep =

x 2

2

, Ek =

x 2

@E

2

,

(2)

где и положительные постоянные величины (параметры системы), х и x смещение от положения равновесия и его первая производная по времени, т.е. проекция скорости v x . Закон сохранения энергии записыва-

шен груз массой m, лежащий на подставке так, что пружина не растянута (рис.2). Подставку быстро убирают. Найдите величины максимальной скорости и максимальной силы упругости пружины при дальнейшем движении груза. Положение равновесия находится ниже начального положения груза на Х = mg/k. Колебания смещения х груза относительно положения равновесия будут происходить по закону x t = = X cos t (ось ОХ направлена по вер-

>C

"$