Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/46.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:55 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com bad tv foxapollo.html

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА

колеблющихся
величин
А.ОВЧИННИКОВ, В.ПЛИС
ния важнейший вид механического движения. Поэтому полезно обратить внимание на некоторые особые свойства этого движения. Известно, что при гармонических колебаниях смещение х тела от положения равновесия зависит от времени t по закону
x = X cos t + .
АРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБА-

Об амплитудах

ется в виде
x
2

(3) + = const . 2 2 Продифференцировав это равенство по времени, получим дифференциальное уравнение

x

@E

2

x +



x = 0,

Формулы (1) и (2) можно получить по-другому. Их вывод основан на том, что если точка С равномерно с линейной скоростью V и угловой скоростью движется по окружности радиусом Х (рис.1), то ее проекция В на координатную ось ОХ совершает гармоничес-

где x вторая производная от х по времени, т.е. проекция ускорения ax . Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решением этого уравнения является функция
x = X cos t + ,

>

C

aN A

C

vN V XX

причем для циклической частоты находим = . (4) Таким образом, приходим к выводу, что если энергия исследуемой системы описывается формулой (3), то движение является гармоническим колебанием с циклической частотой, определяемой соотношением (4). Теперь обсудим несколько конкретных задач. Задача 1. К пружине жесткостью k, один конец которой закреплен, подве-

>

C

Здесь Х величина максимального смещения, т.е. амплитуда смещения тела от положения равновесия, ( t + + ) фаза колебаний, циклическая (круговая) частота колебаний, начальная фаза колебаний. Дифференцирование смещения х по времени t позволяет найти проекцию скорости v x колеблющегося тела на координатную ось ОХ:
vx = - X sin t + .

Ox B

Рис. 1

>

C

Произведение величин Х и в правой части этого равенства имеет смысл величины максимальной скорости V, т.е. амплитуды скорости колеблющегося тела. Таким образом, амплитуды скорости и смещения связаны соотношением
V = X .

(1)

Дифференцируя проекцию v x скорости по времени t, находим проекцию ax ускорения колеблющегося тела на ось ОХ:
КВАНT 1999/?1

ax = - X cos t + .
Произведение величин Х и в правой части равенства это величина максимального ускорения А, т.е. амплитуды ускорения колеблющегося тела. Иными словами, амплитуды ускорения и смещения связывает выражение
A = X .
2 2

2

>

C

кие колебания с циклической частотой . Из кинематики движения по окружности известно, что линейная скорость V, угловая скорость и радиус вращения Х связаны соотношением, совпадающим с соотношением (1), а центростремительное ускорение А выражается через радиус Х и квадрат угловой скорости формулой, совпадающей с выражением (2). Обратим внимание еще на одно важное свойство гармонических колебаний. При рассмотрении колебаний в механике часто удобнее их описывать не на языке сил, а на языке энергий. Допустим, исследуемая система такова, что ее потенциальная и кинетическая энергии описываются формулами

k g

m

Рис. 2

Ep =

x 2

2

, Ek =

x 2

@E

2

,

(2)

где и положительные постоянные величины (параметры системы), х и x смещение от положения равновесия и его первая производная по времени, т.е. проекция скорости v x . Закон сохранения энергии записыва-

шен груз массой m, лежащий на подставке так, что пружина не растянута (рис.2). Подставку быстро убирают. Найдите величины максимальной скорости и максимальной силы упругости пружины при дальнейшем движении груза. Положение равновесия находится ниже начального положения груза на Х = mg/k. Колебания смещения х груза относительно положения равновесия будут происходить по закону x t = = X cos t (ось ОХ направлена по вер-

>C

"$