Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:03 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 13

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

вен разности двух векторов, ведущих из центра многоугольника в соответствующие вершины. Поэтому сумма всех 999 векторов равна разности суммы векторов, ведущих из центра в четные вершины, и аналогичной суммы для нечетных вершин. Четные и нечетные вершины по отдельности образуют правильные 999-угольники, а сумма векторов, ведущих из центра правильного многоугольника в его вершины, равна нулю (так как она не меняется при повороте на угол 2 999 ). Значит, сумма векторов, нарисованных на отрезках, равна нулю как разность двух нулевых векторов. 10. Сумма векторов с началом в точке P и концами в вершинах n-угольника равна

4. T = 2

100% 3 L g

2,6 с.

5. T = 2

m1

L

6. =

2k m

118 10 , 1 2

14

c,

-1

где

k=2
-11

U r - U r0
2 0

= 0,11 нм; X1 =

3h 2 k

bg d i dr - r i

m1 + m2 g

.

, r0 =

076 10 ,

м.

PA1 + PA2 + K + PAn = PO + OA1 +







+ PO + OA2 + K + PO + OAn =


FG H



FG H







IJ K

IJ K

= nPO + OA1 + OA2 + K + OAn = nPO . 13. в) PA1 + PA5 + PA9 = PA3 + PA7 + PA11 и PA2 + PA6 + PA10 = PA4 + PA8 + PA12 . 14. Сложив равенства
AX BC + CX AB CX BD AX DE + AX BE + = BX AC, = BX CD + DX BC, DX CE, DX AE, EX AD = EX AB = BX AE,

FG H

FG H





IJ K

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
МАТЕМАТИКА Вариант 1







IJ K



1. +

11

12 стеме

+ 2 n , n 7 Z . Указание. Уравнение равносильно си-

CX DE + EX CD =

получим

AX 2a + d + CX 2a + d + EX 2a + d =BX 2a + d + DX 2a + d ,

b

g

b

g

b

g

b

g

b

g

где a сторона пятиугольника, d его диагональ. Разделив на 2a + d, получим утверждение задачи 3.

2. -4; 1 U 1; 5 3 U 5 3 ; 11 . Указание. Поскольку выраже2 2 ние |a| |b| имеет тот же знак, что и a b , а знак выражения log 2 u log 2 v совпадает со знаком u v при u > >0 и v > 0, неравенство равносильно системе

b

gb

gb

R | 4t | | | |sin S | | |t = | | T

2

+2

e

3 +1 t + 4

j

3 = 0,

F GH

x+

cos x +

F GH

I JK

0, 4

g

I JK

.

1. CF1 = R n - 1 . 3. F =

R 2n2 - n1 2 n1 - n2

ри шара. 4. Многим сразу приходит на ум использовать для этой цели дополнительно сильную рассеивающую линзу, расположив ее соосно с исследуемой линзой на небольшом расстоянии от ее поверхности. Как и в случае с водой, предмет, находящийся в фокусе 'волшебной' линзы, становится хорошо наблюдаемым. Это верное решение. Однако можно с успехом воспользоваться также и короткофокусной собирающей линзой. Только в этом случае изображение объекта будет перевернутым. 5. Оргстекло (плексиглас, полиметилметакрилат) материал, плохо смачиваемый водой. Поэтому требуется создать избыточное давление порядка p = d , чтобы 'загнать' воду в узкий зазор со стенками из оргстекла (здесь коэффициент поверхностного натяжения, d величина воздушного зазора).

c c

bg

ВОЛШЕБНАЯ ЛИНЗА

h h

1 n2

, при 2n2 < n1 фокус находится внут-

3. 22. Указание. Пусть A точка, симметричная точке А относительно серединного перпендикуляра к отрезку ВЕ, а D точка, симметричная точке D относительно серединного перпендикуляра к отрезку CE. Четырехугольник A BC D параллелограмм, точка Е лежит на A D , а площадь его равна площади ABCDE.
21 1 + tg 3 ; 1 . Указание. Система 4. k 2 2 y = - 3 - arcsin x, 2 y = - 3 - 2arctg kx, y > 0

R | | ex | S |2x | |13 T

b

2 x + 8 - 13 - x
2 2

2

+ 2x - 3

gb j - e2

g

x - 10 x + 8

j

2

0,

+ 8 > 0, - x > 0.

ОБ АМПЛИТУДАХ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ВЕЛИЧИН
1. Амплитуда колебаний скорости будет максимальной, если действие силы прекращается в момент прохождения грузом смещенного положения равновесия L = F/k, т.е. = , =T/4 + nT/2 = (0,052 + n 01 ) с, где n = 1, 2, 3, ... и T = = 2 m k 0,21 с. 2. V =
m1 2 X m
2

T

.

3. m2 =

4 X Tg
2

2

m1 .

имеет решение тогда и только тогда, когда уравнение k sin = 2 = tg , где = у , имеет решение на промежутке 3 2 2 - <- . 2 3 5. 5; 16/3. Указание. Поскольку центр сферы лежит в плоскости АВС, а плоскости DSB и ASC перпендикулярны плоскости АВС, DSB = ASC = 90њ. Треугольник ASC прямо2 угольный, поэтому SC = НС AC. Пусть SC = x.

#%