Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/16.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:05 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:08 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com bad tv foxapollo.html

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

по математике и физике
Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 июля 1999 года по адресу: 117296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, 'Квант'. Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе 'Кому' напишите: 'Задачник 'Кванта' ?2 99' и номера задач, решения которых Вы посылаете, например 'М1676' или 'Ф1683'. В графе '... адрес отправителя' фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: 'Задачник 'Кванта', новая задача по физике' или 'Задачник 'Кванта', новая задача по математике'). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задача М1677 предлагалась на Московской городской олимпиаде по математике этого года. Задача Ф1685 предлагалась на втором (очном) туре V Соросовской олимпиады по физике.

Задачи

Задачи М167 6 М168 0 , Ф168 3 Ф168 7
М1676. Отрезок АВ разбит на черные и белые отрезки
так, что сумма длин черных равна сумме длин белых отрезков. Для каждого черного отрезка берем произведение его длины на расстояние от точки А до его середины и все такие произведения суммируем. Для каждого белого отрезка берем произведение его длины на расстояние от точки В до его середины и все такие произведения тоже суммируем. Докажите, что обе суммы равны. В.Произволов ются в точке О. Окружность, проходящая через точки А, О и В, касается прямой ВС. Докажите, что окружность, проходящая через точки В, О и С, касается прямой CD. А.Заславский

ням уравнения x + an x + bn = 0. Найдите пределы обеих последовательностей. А.Заславский, А.Поспелов ством xn = n + C, где n принадлежит натуральному ряду. а) Пусть С натуральное число. Докажите, что любые три идущие подряд члена последовательности не имеют общего делителя (отличного от 1). б) Пусть С является кубом натурального числа. Докажите, что существуют соседние члены последовательности, не являющиеся взаимно простыми числами. в)* Существует ли такое натуральное число С, что любые соседние члены последовательности взаимно просты? В.Сендеров

2

М1680. Числовая последовательность задается равен3

М1677. Диагонали параллелограмма ABCD пересека-

КВАНT 1999/?2

М1678. В таблице из n Ч n клеток ( n 3 ) в каждой строке и в каждом столбце ровно в трех клетках записаны какие-либо числа, остальные клетки пустые. При этом сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце одна и та же. Докажите, что сумма произведений чисел, стоящих в каждой строке, равна сумме произведений чисел, стоящих в каждом столбце. В.Произволов М1679. Последовательности an и bn задаются следующим образом. Выбираются два произвольных числа a0 > 0 и b0 < 0. Числа an+1 и bn +1 принимаются равными, соответственно, положительному и отрицательному кор-

Ф1683. Мотор на берегу равномерно наматывает на вал веревку, с помощью которой подтягивается к берегу лодка. В данный момент веревка составляет угол с горизонтом, а скорость лодки равна v. На веревке завязан небольшой узелок в указанный момент он вдвое ближе к носу лодки, чем к валу, на который наматывается веревка. Найдите скорость и ускорение узелка в данный момент времени. С.Варламов Ф1684. Для снабжения небольшого дома горячей водой применено не самое удачное устройство. Оно состоит из очень большого бака с теплоизоляцией, от которого потребители получают маленькими порциями горячую воду, и автоматического устройства, которое сразу же пополняет бак крутым кипятком. Оказалось, что при

mrmr

16