Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/34.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:05 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:24:36 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

(Начало см. на с.28) высоты, биссектрисы и веденных из вершины что углы ABN, NBL, равны. Найдите углы АВС.
B

B N E L M D

медианы, проВ. Известно, LBM, MBC треугольника
A
Рис. 13

C

дикуляров отрезков ВР и АС и, значит, М центр описанной около треугольника АВС окружности. Поэтому АС это диаметр и угол АВС равен . 2 Пятое решение (площадь). Применяя теорему синусов к треугольнику BML, имеем
sin 90 њ+

A
Рис. 12

N

L

M

C

Третье решение (два диаметра). Проведем окружность через точки A, B, L (рис.13). Центр этой окружности О лежит на луче BN. Пусть ВЕ диаметр этой окружности, D точка пересечения окружности со стороной ВС. Так как

b

BM

g

=

sin 90 њ-2

b

BL

g
.

=

c cos 2

.

Поэтому

BM =
Таким образом,

c cos cos 2

Первое решение (теорема синусов). Положим = ABN (рис.12). Тогда

BAD = BED =

2

- 3 = BCA ,

BAC =
и

2 2

S

ABC

= 2 SBMC = BM BC sin =
=

-

BCA =

- 3 .

По теореме синусов имеем

AM BM =

F sinG H FG H



2 sin 3

-

IJ K

=

AM cos , sin 3

BM =

CM sin

- 3 CM cos 3 2 = . sin sin

IJ K

Так как AM = CM, то

то треугольники DBA и АВС подобны. Следовательно, они делятся одинаковым образом тремя линиями, исходящими из вершины В. Поэтому точка Х пересечения отрезков ВЕ и AD должна быть серединой отрезка AD. Итак, диаметр ВЕ делит хорду AD пополам. А это возможно лишь в следующих двух случаях: либо диаметр и хорда перпендикулярны (что явно не выполняется в нашей ситуации), либо хорда сама является диаметром и точка пересечения центр окружности. Итак, B = и 2 = . 8 Четвертое решение (описанная окружность). Пусть Р точка пересечеB c A N c L M C a

c cos ac tg 2 a sin = . cos 2 2

С другой стороны,

S

ABC

=

1 2

AB BC sin 4 =

ac sin 4 2

.

Поэтому

sin 2 cos 2

= tg 2 =
= sin 4 = 2 sin 2 cos 2 .

Отсюда cos 2 =

2

1 2

и, значит,

cos sin 3

=

cos 3 sin

.

2 cos 4 = 2 cos 2 - 1 = 0 .

Отсюда sin cos = sin 3 cos 3 , или sin 2 = sin 6 . Так как 0 < < , то получаем, что 4 3 = . Поэтому A = , B = , 8 8 2 C = . 8 Второе решение (описанная окружность). Пусть О центр описанной около треугольника АВС окружности и BD диаметр этой окружности. Так как BAC = BDC , то ABN = = CBO. Следовательно, лучи ВМ и ВО совпадают. Если O M , то, так как отрезок ОМ перпендикулярен АС, медиана ВМ в этом случае совпадает с высотой BN, в противоречии с условием задачи. Итак, О = М и угол В прямой. Но тогда ABN = , BAC = 8 3 и BCA = . = 8 8

Поэтому 4 =

2

и=

8

.

В заключение я хочу принести свою искреннюю благодарность математику из Эссена (Германия) Йоахиму Зукку благодаря ему я имел возможность ознакомится с материалами, при помощи которых была написана эта статья.

Рис. 14

P

КВАНT 1999/?2

ния луча BL с окружностью, описанной около треугольника АВС (рис.14). Следовательно, точка Р середина дуги АС. Поэтому MP AC и, значит, BN || MP . Следовательно,
MBP = NBL = MPB .

Поэтому МВ = МР. Тем самым, М точка пересечения серединных перпен-

!"