Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/32.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:05 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:52 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

КАЛЕЙДОСКОП

'КВАНТА'

Паркеты и разрезания
Наверное, каждому читателю 'Кванта' известны паркеты из правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников (рис.1). А можно ли составить паркет из каких-нибудь других многоугольников? рить, что паркет можно составить из любого четырехугольника, но, тем не менее, это так (рис.2). Существует довольно много выпуклых пяти- и шестиугольников, из которых составляется паркет (подробнее об этом можно прочитать в книге М.Гарднера 'Путешествие во времени и другие задачи'), однако никакой выпуклый многоугольник с числом сторон, большим шести, для этой цели не подходит. Вместе с тем существуют составляющие паркет невыпуклые многоугольники с произвольным числом сторон, причем среди получающихся паркетов есть довольно любопытные. Один из примеров приведен на рисунке 3. ных. Однако, количество таких многоугольников сильно зависит от n. Так, способность делиться на

Рис. 4

a

4, 9 и т.д. частей распространена достаточно широко. На рисунке 5 показано несколько многоугольников, разрезанных на 4 подобные части. Каждый из них может быть разрезан также на 9, 25 и т.д. частей. С другой стороны, много-

б

Рис. 3

Рис. 1

в

Еще раз поглядев на рисунок 1, нетрудно догадаться, что правильный треугольник можно заменить произвольным, а квадрат любым параллелограммом. Труднее пове-

Рис. 2

Отметим теперь одну особенность паркетов на рисунках 1,а и 1,б. На них можно выделить группы из 4, 9 и т.д. исходных многоугольников, образующие подобные им многоугольники большего размера. Фигуры, которые можно разрезать на подобные им и равные между собой, называются делящимися или самоподобными. Таким образом, треугольник и параллелограмм являются делящимися фигурами. Из рисунка 4 видно, что параллелограмм с отношением сторон 1 : n можно разрезать на n равных между собой и подобных ему параллелограммов. Следовательно, для любого n существуют многоугольники, делящиеся на n подоб-

Рис. 5