Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/33.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:05 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:52 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

Рис. 6

угольников, делящихся на р частей, где р простое число, и отличных от приведенных на рисунке 4 параллелограммов, крайне мало. Например, для р, равного 2, 3 или 5, такими многоугольниками являются только треугольники, приведенные на рисунке 6. Надо сказать, что пространственные аналоги рассмотренных задач представляют крайне сложные проблемы. В частности, неизвестно, какое максимальное число граней может быть у заполняющего пространство выпуклого многогран-

Рис. 7

ника. Вопрос о разрезании многогранников на подобные не решен даже для тетраэдров. Известны 4 тетраэдра, которые можно разрезать на 8 подобных им и равных между собой частей, но не доказано, что список ими исчерпывается. Попробуем теперь разрезать фигуры на равные, но не обязательно подобные исходной фигуре части. Как ни странно, общего способа определить, может ли данная фигура быть разрезана таким образом, не существует даже для двух частей. Впрочем, попытавшись разрезать на две равные части фигуры на рисунке 7, можно поверить, что эта задача может быть весьма нетривиальной. Откажемся, наконец, и от требования равенства частей, заменив его требованием равенства их площадей. Очевидно, что любую фигуру можно разрезать по прямой на две равновеликие части. Значительно интереснее, что для любых двух фигур существует прямая, разрезающая каждую из них на две равновеликие части (рис.8). Верен также пространственный аналог этой теоремы: любые три тела можно разрезать одной плоскостью на части равного объема. Вообще говоря, прямая, делящая пополам площадь фигуры, не обязательно делит пополам ее периметр. Тем не менее для любой фигуры можно найти прямую, делящую ее площадь и периметр на равные части. Попробуйте решить эту задачу для треугольника (подсказка: искомая прямая должна проходить через центр вписанной в треугольник окружности, а 'отрезать' нужно средний по величине угол треугольника, как на рисунке 9). И последний вопрос: какая из всех линий, делящих пополам площадь правильного треугольника, имеет наименьшую длину? Составив из шести тре-

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

угольников правильный шестиугольник (рис.10), убеждаемся, что искомой линией будет дуга окружности с центром в вершине треугольника (заштрихованные фигуры имеют одинаковую площадь, а из всех фигур данной площади круг имеет наименьший периметр). Правда, построить эту дугу с помощью циркуля и линейки невозможно (эта задача эквивалентна квадратуре круга). А.Заславский