Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/15.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:11 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:32 2012 Кодировка: Windows-1251

СУММЫ

КВАДРАТОВ

И

ЦЕЛЫЕ

ГАУССОВЫ
2

ЧИСЛА

15

Суммы квадратов
Если вы внимательно проследите за вычислениями в основном тексте и будете рассматривать упражнения вычислительного характера не только как отнимающие время (неизбежно они обладают этой особенностью), но и как представляющие интерес, доставляющие наслаждение и понимание, то я убежден, что вы сможете оценить как мощь, так и крайнюю простоту теории. Г.Эдвардс

втором случае x = остаток 1.) Суммы остатков 0 квадратов x2 + y 2 когда x и y кратны

2 9k + 6k + 1 дает при делении на 3

+ 1 и 1 + 1 не кратны 3. Значит, сумма кратна 3 в том и только том случае, 3.

Упражнение 2. Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел кратна 31999 , то эта сумма кратна 32000 .

Таблица сумм квадратов Рассмотрим таблицу, в верхней строке и левом столбце которой квадраты целых чисел, а в других клетках суммы квадратов:
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1 2 5 10 17 26 37 50 65 82 4 5 8 13 20 29 40 53 68 85 9 10 13 18 25 34 45 58 73 90 16 17 20 25 32 41 52 65 80 25 26 29 34 41 50 61 74 36 37 40 45 52 61 72 85 49 50 53 58 65 74 64 65 68 73 80 81 100 82 101 85 104 90 109 97 116

Остатки от деления на 7
Следующее после 3 и 6 не представимое в виде суммы двух квадратов число это 7. Кратные 7 числа 14, 21, 28, 35, 42, 56, 63 не представимы в виде суммы квадратов. Опять возникает гипотеза: если сумма квадратов x2 + y 2 кратна 7, то и сами целые числа x, y кратны 7. Для доказательства составим таблицу остатков от деления квадратов на 7:
Kвадрат 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 О статок 0 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0

89 106 125

85 100 117 136 98 113 130 149 162 181 181 200
2

89 100 113 128 145 164 149 164

Остатки, как видите, периодически повторяются. Поскольку сумма никаких двух из остатков 1, 2, 4 не кратна 7, мы доказали нашу гипотезу.
Упражнения 3. Остаток от деления квадрата целого числа x на 7 равен 0, если x = 7k, где k целое число; равен 1, если x = 7k + 1; равен 2, если x = 7k + 3; равен 4, если x = 7k + 2. Докажите это. 4. Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел кратна 21, то она кратна и 441. 5. а) Какие остатки дают квадраты целых чисел при делении на 11? б) Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел кратна 11, то она кратна 121. в) Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел кратна 1331, то она кратна и 14641.

97 106 117 130 145

101 104 109 116 125 136

Эта таблица позволяет выписать представления: 1 2 = 12 + 02 , 2 = 12 + 12 , 4 = 2 + 02 , 5 = 22 + 12 , 8 = 22 + 2 2 2 2 2 2 2 9 = 3 + 0 , 10 = 3 + 1 , 13 = 3 + 2 ,... Не вошедшие таблицу числа первой сотни (3, 6, 7, 11, 12, 14, 15,...) виде суммы двух квадратов не представимы.

= , в в

Упражнение 1. Найдите наименьшее число, которое двумя существенно разными (т. е. не получающимися один из другого перестановкой слагаемых) способами представимо в виде суммы двух квадратов а) целых; б) натуральных чисел.

Остатки от деления на 19
Если простое число p представлено в виде суммы квадратов, p = x2 + y 2 , то, очевидно, числа x, y меньше p и потому не могут быть кратны p. Значит, на роль тех чисел p, для которых из делимости суммы квадратов на p следует делимость на p обоих слагаемых, претендуют только числа, не представимые в виде суммы двух квадратов. Любое такое число можно исследовать аналогично числам 3 и 7. Например, пусть p = 19. Составим таблицу остатков от деления квадратов на 19:
Kвадрат О статок Kвадрат О статок Kвадрат О статок 0 0 49 11 196 6 1 1 64 7 225 16 4 4 81 5 256 9 9 9 100 5 289 4 16 16 121 7 324 1 25 6 144 11 36 17 169 17

Остатки от деления на 3
Наименьшее натуральное число, не представимое в виде суммы двух квадратов целых чисел, это 3. Кратные 3 числа 6, 12, 15, 21 тоже не представимы, а вот числа 9 = 2 = 32 + 02 и 18 = 3 + 32 представимы. Возникает гипотеза: числа, которые кратны 3, но не кратны 9, не представимы в виде суммы двух квадратов. Эта гипотеза верна. Верно даже более сильное утверждение: 2 2 Теорема 1. Если сумма квадратов x + y целых чисел x, y кратна 3, то числа x, y тоже кратны 3. Доказательство. Выпишем остатки от деления квадратов целых чисел на 3: Закономерность очевидна: остатки периодически повтоKвадрат О статок 0 0 1 1 4 1 9 0 16 1 25 1 36 0 49 1 64 1 81 100 0 1

ряются, и никаких остатков кроме 0 и 1 не бывает. (Точнее говоря, остаток от деления квадрата целого числа x на 3 равен 0, если x кратно 3, т. е. представимо в виде x = 3 k, где k целое число, и остаток равен 1, если x не кратно 3, т. е. представимо в виде x = 3k + 1. В самом деле, 2 в первом случае x = 9k 2 делится на 3 без остатка, а во
4*

В верхней строке квадраты чисел 0, 1,..., 18. (Другие квадраты можно не рассматривать, поскольку любое целое число x можно представить в виде x = 19q + r, где q целое, 0 r 18, и при этом число x2 = 192 q 2 +