Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/17.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:11 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:32 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: sun

СУММЫ
2

КВАДРАТОВ
2

И

ЦЕЛЫЕ

ГАУССОВЫ

ЧИСЛА
2

17

2 + 12 , 13 = 3 + 22 , 17 = 4 2 + 12 , 29 = 5 + 22 , 37 = 6 + 2 2 2 2 2 + 1 , 41 = 5 + 4 , 53 = 7 + 2 ,... Теорема 4. Любое простое число p, которое при делении на 4 дает остаток 1, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Мы приведем доказательство, состоящее из следующих двух лемм. Лемма 1. Для любого простого числа p = 4n + 1, где n N, существует такое целое число m, что m 2 + 1 кратно p. 2 Лемма 2. Любой простой делитель p числа m + 1, где m целое, представим в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

16. а) Никакое число вида m + 1 не кратно никакому числу вида n 2 1, где m, n целые числа, n > 1. Докажите это. 2 2 2 22 б) Решите в целых числах уравнение x y = x + y + z .

Доказательство леммы 1
В качестве числа m в лемме 1 годится m = (2n)!, т. е. произведение первых 2n натуральных чисел. Чтобы это увидеть, рассмотрим число

>

p - 1 ! = 1 2 K 2n - 1 2n Ч
Ч

C

Упражнение 9. Пользуясь формулой (1), объясните, почему в лемме 2 слова 'любой простой' можно заменить на 'любой натуральный'.

> C> C >2n + 1C >2n + 2C K >4n - 1C >4nC = = 1 2 K >2n - 1C >2nC > p - 2 nC Ч Ч ? p - >2n - 1CD K > p - 2C >
C > C > C >2nC >2
2n

p -1 .

C

Оно дает при делении на p такой же остаток, как и число

Лемму 1 мы выведем из теоремы Вильсона (1741 1793), лемму 2 из теории делимости целых гауссовых чисел. Но сначала сформулируем ответ на один важный вопрос.

1 2 K 2 n - 1 2 n -1
2

Какие натуральные числа суммы двух квадратов?
По теоремам 3 и 4, простое число p > 2 не представимо в виде суммы двух квадратов, если оно имеет вид p = =4k + 3, и представимо если p = 4k + 1, где k целое. Вспомнив формулу (1) и применив (еще не доказанную нами) теорему 2, получаем следующий элегантный критерий: натуральное число представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда в его разложение на простые множители любой простой множитель вида 4k + 3 входит в четной степени. Этот критерий впервые был сформулирован голландцем Альбером Жираром (15951632) в следующем виде: натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда оно является или квадратом, или числом 2, или простым числом, которое на 1 больше, чем некоторое кратное 4, или произведением нескольких вышеперечисленных чисел. Скорее всего, Жирар опирался лишь на изучение таблиц и не претендовал на то, что может доказать необходимость и достаточность своих условий.
Упражнения 10. Докажите, что 15 не представимо в виде суммы квадратов двух рациональных чисел. (Этот факт упомянут в 'Арифметике' древнегреческого математика Диофанта.) 11. Выведите из критерия представимости числа в виде суммы двух квадратов, что если сумма квадратов x2 + y 2 целых чисел 2 s -1 кратна p , где s натуральное число, p простое число, которое при делении на 4 дает остаток 3, то числа x и y кратны s p. 12. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые дают остаток 1 при делении на 4, но не представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел. 2 13. а) Для любого делителя d числа n + 1, где n N, 2 существует бесконечно много таких m N, что m + 1 кратно d. Докажите это. б) Сколько существует натуральных чисел 2 n < 1000, для которых n + 1 кратно 65? 2 14. Из леммы 2 и теоремы 3 выведите, что число вида n + 1, где n N, не имеет ни одного делителя вида 4k 1, где k N. 15. Докажите, что если x, y, z целые числа и 4xy x y = 2 = z , то x 0 и y 0. (Это упражнение придумал Л. Эйлер.)
5 Квант ? 3

Значит, m + 1 при делении на p дает такой же остаток, как и число (p 1)! + 1. Последнее число кратно p по теореме Вильсона, которая впервые была сформулирована англичанином Эдуардом Варингом (17341798), а доказана французом Жозефом Луи Лагранжем (1736 1813). Теорема Вильсона. Для любого простого числа p сумма (p 1)! + 1 кратна p. (Другими словами, произведение 1 2 ... (p 1) дает остаток (p 1) при делении на p.) Доказательство этой теоремы можно узнать, например, из статьи А. Егорова и А. Котовой 'Необыкновенные арифметики' (Приложение к журналу 'Квант' ? 2 за 1994 год). Итак, мы вывели лемму 1 из теоремы Вильсона. Идея доказательства леммы 2 разложение на множители m2 + 1 = (m + i)(m i). Что такое i и что делать дальше, вы узнаете, когда познакомитесь с комплексными числами.
Упражнения 17. Докажите, что числа а) 97! 1901! 1; б) 98! 1900!+1 кратны 1999. Указание. 1999 простое число. 18. Если p простое число, p > 2, m = ((p 1)/2)!, то
m -1
2

>

n - 1 K 2 1 = m2 .

C

равен 1, если p = 4n + 3, и равен p 1, если p = 4n + 1. Докажите это. 19. Докажите, что а) если составное число n > 4, то (n 1)! кратно n; б) если (n 1)! + 1 кратно n, где n > 1 натуральное число, то n простое.

> C>

p +1 2

C mod p , т.е. остаток от деления на p числа >C

m

2

Комплексные числа
Что нам стоит дом построить? Нарисуем будем жить!

Что такое комплексное число?
Новые числа в математике вводят, когда старых оказывается недостаточно. Изобретение целых чисел, т. е. расширение множества N = {1, 2, 3,...} натуральных чисел до множества Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}, дает возможность решить, например, уравнение x + 7 = 5. Построив еще m более широкое множество Q = { | m Z, n N} n рациональных чисел, мы получаем возможность решать уравнения вроде 3x = 8. Желание измерить диагональ единичного квадрата (или, что то же, решить уравнение x 2 = 2) приводит к очередному расширению множества