Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/63.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:14 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:22 2012 Кодировка: Windows-1251

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ Коварныепроценты
1. Первоначально арендную плату предлагали увеличить не на 300, как думал автор, а на 200 процентов. 2. Сбор увеличен не на 2, а на 200 процентов (это все равно, что стоимость проезда увеличилась с 1 рубля до 3 рублей). В таких случаях иногда говорят, что сбор увеличился на 2 процентных пункта. 3. 400 г. 4. Жирность масла 80% говорит о том, что в 730 тыс. тонн масла содержится 730 Ч 0,8 тыс. тонн жира. Если это количество жира перераспределить в 730 1,5 тыс. тонн масла, то 0,8 последнее будет иметь жирность 100% 53%, что не со15 , ответствует действительности. 5. Если жирность добавляемых n килограммов молока р%, то должно выполняться соотношение 82 1000 + np = = 72,5 1100, что невозможно ни при каком n, даже для обезжиренного (р = 0) молока. Значит, слишком скромно (100 кг) оценен 'коммерческий навар'. Обозначив его через х(кг), получим соотношение 82 1000 + np = 72,5 (1000 + +х), откуда следует, что х > 131 (кг).



A

B

C

B



O

I C

Рис. 8

B
2

C
2 2

Ловушкадлятреугольника
1. Наименьший угол треугольника равен

arcsin

F GH

4 6

-

1 2

I JK

-

4.

хорды. По формуле Эйлера, R 2 Rr0 = d = R 2Rr. Следовательно, 0 совпадает с . 1 12. Векторное равенство следует из того, что OF = OH , и 2 из формул упражнения 7. Применяя к нему (3), получим 2 2 2 2 2 2 2 4 p IF = p R a1b1c + b1 c1a + c1a1b , где, согласно нашим обозначениям, a1 = р а и т.д.; выражение в скобках с учетом приведенных в статье формул для симметрических многочленов от a1 , b1 и c1 можно преобразовать так:

e

j

a1b1c + K = a1b1 c - p
= - a1b1
1

2

2. Указание. Умножьте скалярно вектор в левой части на себя и воспользуйтесь тождеством
2v u = v + u - v - u
2 2

FG H





IJ K

FH e c bc +

2

2

j

+ a1b1 p

2

p + b + p + a + p + p a1b1 + b1 c1 + c1a1 =
2

IK g

+K=
2

2

.
2

= -5 pa1b1c1 + p r + 4 rR = p -5 r + r + 4 rR , откуда 4 IF = R - 4 rR + 4 r = R - 2r . 13. Проведем из Р прямую через центр О данной окружности. Пусть она пересекает окружность в точках A1 и B1
2 2

e

d

2

3. а) К вектору PD = x PA+ y PB примените формулу (1) из статьи с z = 0. б) Используйте результат упражнения 7,а) и формулу (3). 4. Оба утверждения следуют из соотношений a1 + b1 = с, b1 + c1 = а, c1 + a1 = b. 2 2 2 2 6. а) a + b + c = a + b + c - 2 ab + bc + ca , вторая скобка выражается с помощью упражнения 5; б) аналогично а); в) добавляя к левой части 3abc = 12Rrp, получим (a + b + +c)(ab + bc + ca). 7. а) Указание. Пусть OA + OB + OC = OH ; проверьте, что отрезки AH и BH перпендикулярны сторонам ВС и СА соответственно, т.е. AH BC = BH CA = 0. б) Указание. Используйте теорему об отношении, в котором биссектриса треугольника делит сторону. в) следует из а) и б). 2 8. Из упражнения 7,в) и формулы (3) следует, что IH =

b

j g

2

e

i

2

2

j

2

b

g

b

g

P A O


A A A B


B O P



Рис. 9

B

B

= 4 R 1 - a 2 p 1 - b 2 p c + K . Вычитаемое после раскрытия скобок приводится к виду и преобразуется с помощью формул из упражнения 6. 9. Указание. Сравните формулу (2) и упражнение 7,а). 10. Указание. Используйте упражнение 7,б) и формулы (3) и (4). 11. Во-первых, заметим, что d + r < R, т.е. меньшая окружность лежит внутри большей окружности . Пусть касательные к , проведенные из точки А, произвольно взятой на , пересекают в точках В и С (рис.8). Будем изменять радиус окружности , не меняя ее центра. Ясно, что если он достаточно мал, то соответствующая этой маленькой окружности 1 хорда B1C1 будет лежать вне 1, а окружность 2 , 'почти касающаяся' , будет пересекать соответствующую ей хорду B2C2 . Поэтому найдется промежуточная окружность 0 радиуса r0 , которая касается соответствующей ей

2

b

gb

g

2

e

a +b +c

2

2

2

j-e

ab + a b + bc + b c + ca + c a 2 p + abc 2 p

2

2

2

2

2

2

j

(рис.9). Из теоремы о вписанном угле следует, что треугольники PAA1 и PB1 B подобны, поэтому PA PB = PA1 PB1 = = d-R d+R . 14. При k = 1 прямая Эйлера должна касаться вписанной окружности в точке Н. Но если выполнено уравнение (8), то центр F окружности 9 точек попадает внутрь вписанной окружности (легко проверить, что IF = R/2 r < r при r =

b

g

= 11 - 3 R ) и, стало быть, прямая Эйлера пересекается ней. Можно и не ссылаться на уравнение (8), а прямо из 2 2 2 ловий IH = r и OH + IH = OI вывести равенство r = 15. Указание. Покажите, что угол между прямыми АН и равен углу между прямыми АО и АС (оба угла равны 2 - ABC ). 16. Из формулы упражнения 6,а) следует, что 8 R 2 2 2 2 2 2 a + b + c = 2 2 R + r 2 p . В то же время 8 R a +b +c
2

e

j

с ус2R. АВ

e e

2

2

2

j j

= OH R (см. упражнение 3,б)). Орто-

b

2

g

2

63