Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/kv0400kaleid.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:54 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:34:40 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com bad tv foxapollo.html

Нет, ребята, все не так...
ВАДРАТ РАЗМЕРОМ 8 Ч 8 можно разрезать (рис. 1) на части, из которых складывается

КАЛЕЙДОСКОП

'КВАНТА'

К

a

б

Рис.3

Рис.1

прямоугольник размером 5 Ч 13. Значит, 64 = 65. На рисунке 2 квадрат размером 13 Ч 13 разрезан на части, из кото-

MOA тоже равны (по гипотенузе и острому углу). Поэтому ON = OM, так что треугольники BNO и CMO равны (по гипотенузе и катету). Это значит, что BN = CM и AB = AN + NB = AM + MC = = AC, так что AB = AC. Треугольник ABC равнобедренный!
a A

(рис.4,б): AB = AN NB = AM MC = AC, всего лишь вместо суммы разность. Треугольник все равно равнобедренный! *** Многие знают, что если ABCD выпуклый четырехугольник, то
б A

N O B
Рис.2 Рис.4

M

B N

L

C M

L

C

O

рых легко сложить прямоуголь2 ник 8 Ч 21. Значит, 169 = 13 = = 8 21 = 168. Есть и много других столь же эффектных разрезаний (рис.3). *** Ваш учитель геометрии вряд ли согласится, что все треугольники равнобедренные. Тем не менее, это так! Проведем биссектрису угла A треугольника ABC и серединный перпендикуляр к стороне BC (рис. 4,а). Из точки O их пересечения опустим перпендикуляры на стороны треугольника. Прямоугольные треугольники BOL и COL равны (по двум катетам). Значит, BO = CO. Треугольники NOA и

Вы можете возразить, что на точном чертеже точка O попадает не внутрь треугольника, а лежит вне. Более того, знаток геометрии даже скажет, что точка O это середина дуги BC описанной окружности треугольника ABC. На это у меня готов ответ
C D O

M A
Рис.5

B

точкой, сумма расстояний от которой до вершин минимальна, является точка O пересечения диагоналей (рис.5). Доказать это очень легко: для любой точки M по неравенству треугольника имеем AM + MC AC и BM + + MD BD, откуда AM + CM + BM + DM AC + + BD = AO + OC + BO + OD, что и требовалось. Пусть точки A и B неподвижны, а точки C и D стремятся к вершине E равностороннего треугольника ABE (рис.6). Точка O пересечения диагоналей тоже устремится к точке E. Мы доказали, что сумма расстояний от точки O до вершин четырехугольника минимальна. В пределе четы-


E D O C

уравнению
6t 1+ t
2

-

1-t 1+t

2 2

= 1,

A
Рис.6

B

откуда 6t - 1 + t 2 = 1 + t 2 , т.е. t = = 1/3. Мы нашли ответ: x = 1 = 2 arctg + 2n , где n любое 3 целое число. Но удовлетворяющее данному равнению x = не представимо в таком виде. *** Да ладно бы в тригонометрии. Неравенства и те не позволяют расслабиться. Обозначим 111111 S = 1 + + + + + + + ... 234567 Очевидно,
S111 = + + + ... 2268

z
2 1

t = 2x:

b

1 ln 2 x dx = 2

g

z
4 2

bln tg



dt =

1 2

4

ln t
2

=

= Итак, ln 2 =
1 2

1 2

b

ln 4 - ln 2 =

g

1 2

ln 2 .

ln 2 .

рехугольник превращается в треугольник ABE. Значит, сумма расстояний от предельного положения точки O минимальная из всевозможных сумм расстояний от точек плоскости до вершин треугольника ABE. Однако сумма расстояний от центра описанной окружности до вершин треугольника меньше суммы AE + BE. Противоречие! *** Не все ладно и в алгебре. Рассмотрим уравнение
3

*** К сожалению, логарифмы в школе проходят очень поздно, так что не все знакомы с ними. Для таких читателей показываю то же самое еще раз, но без логарифмов. С одной стороны,

z
1 0

ex j
2



dx = x

2

1 0

= 1.

( )

С другой стороны, можно выполнить замену x = t/2. Имеем:

Вычитая это равенство из предыдущего, получаем:
S- S 2 =1+ 1 2 1 3 + 1 5
1 4 1

+
<

1 7
1 3

+ ... ()

z
1 0

ex j
2



dx =

1 2

z
2 0

F GG H

t

2

4

I JJ K

dt =

1 + x + 3 1 - x = -1 .

Поскольку вообще,
1 2n

< 1,

,

1 6

<

1 5

1t = 24

22

=
0

1 2

.

,и

Возведем обе части в куб, воспользовавшись формулой

<

b

a+b

g

3

= a + 3ab a + b + b

3

b

g

3

при a = 3 1 + x и b = 3 1 - x . Получаем
1 + x + 3 1 - x -1 + 1 - x = -1 ,
3 2

т.е. 1 - x = 1 , откуда x = 0. Подставьте x = 0 в исходное уравнение получите равенство 2 = 1. *** Тригонометрии я тоже не доверяю. Вот, например, уравнение
3 sin x - cos x = 1 .

3

2

bg

слагаемое правой части формулы ( ) меньше соответствующего слагаемого формулы (). Следовательно,
S 2
2n - 1

, то каждое

Итак, 1 = 1/2. Теперь легко доказать, что все числа равны между собой. А это, согласитесь, очень помогает в жизни (особенно при денежных расчетах только нужно использовать это в выгодную для себя сторону и успеть убежать). *** Наконец, если вы знакомы с формулой Эйлера
sin x = e

,

что удивительно. *** Если вы уже изучали интегралы и логарифмы, то сможете насладиться следующим парадоксом. Вычислим двумя способами

e

ix

-e

- ix

j

/(2i),

то можете легко доказать, что синус тождественно равен нулю:
e
ix

Воспользуемся формулами x 2 tg 2 sin x = , 2x 1 + tg 2 2x 1 - tg 2 cos x = . 2x 1 + tg 2 x Обозначив t = tg , придем к 2

ку ln 2 x = ln 2 + ln x , имеем
2

z z
2 1 1

-e 2i

- ix

=
2Fi x /2F

b b

ln 2 x dx . Во-первых, посколь-

bg

g

=

e

- e-2Fi 2i



x /2F

=

ln 2 + ln x dx =

=

z
2 1

g

=
2

1x/2F -1x/2F =0. 2i

bln xg



dx = ln x
1

= ln 2 .

Во-вторых, этот же интеграл можно вычислить, выполнив замену

Аналогично можно доказать, что cos x тождественно равен 1. Вывод: как в элементарной, так и в высшей математике одна путаница и обман налогоплательщиков. Б.Споров