Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/25.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:55 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:42 2012 Кодировка: Windows-1251

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

#

совпадающие на отрезке, совпадают всюду поскольку многочлен (отличный от тождественного нуля) n-й степени имеет не более n вещественных корней. (О свойствах многочленов можно прочесть, например, в книге 'Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика' М.: Аванта+, 1999.) 2 Теперь подставим u = -t в доказанное тождество

получим

1 - cos2 3 x = 1 - cos2 x 4 cos2 x - 1 ,

e1

- cos2 x 1 - cos2 3x = 1 - cos2 x

je

e

je

je

j

2

je
2 2

4 cos x - 1 .

2

j

2

b

u - 1 2u - 1

geb

g - 1j
2

= 4u u - 1 .

b

g

2

Пользуясь полученным тождеством и ( 4 ), приходим к формуле

Мы получим (2). 2 2 Чтобы поменять в тождестве t на - , можно воспользоваться и комплексными числами, а именно, подстановкой 2 t = i , где i = 1. Такая подстановка корректна, поскольку многочлены в левой и правой частях тождества совпадают на всей комплексной плоскости. С помощью тригонометрических функций мы легко получили (4) тождество, в которое входят выражения t 2 1 и 2t 2 1. Рассмотрим теперь аппарат, позволяющий получать непосредственно также и тождества типа (2). Гиперболическими функциями называются:
sh x = th x = sh x ch x = e -e 2
x x -x -x x -x

e1 e

-y

2

jFH1 - e jFH e

4 y 3 - 3y

j IK = e1
2

-y

je
2 2

2 4 y - 1 . ( 4 )

j

2

Заменяя (как и выше, при решении а) и б)) y 2 на - y 2 , получаем тождество
y2 + 1 4 y 3 + 3y

j + 1IK = e
2

y +1

2

je

4y + 1 .

2

j

2

(5)

Это тождество позволяет выписать некоторую бесконечную серию натуральных решений:

e

n, 4 n + 3n, n + 1 4 n + 1 .

3

e

2

je

2

jj

, ch x = , cth x =

e +e 2

x

-x

,
e +e e -e
x x -x -x

Заметим, что эта серия не дает всех решений: например, справедливо равенство

e -e e +e

ch x sh x

e1 + 1je
2

41 + 1 = 58 .

2

j

2

(6)

=

,

(гиперболический синус, косинус, тангенс, котангенс, ); они определены для всех значений х, исключая cth x , который теряет смысл при х = 0. Эти функции проявляют замечательную аналогию с тригонометрическими функциями. Так, имеют место формулы (обратите внимание на знаки!)
ch x + y = ch x ch y + sh x sh y , sh = sh x ch y + ch x sh y ,

Заметим также, что тождество ( 4 ) задает новую бесконечную серию натуральных решений уравнения пункта б). Второй способ. Воспользуемся тождеством
sh 3 x = 3sh x + 4 sh x ;
3

(6 )

отсюда

2 2 2 sh 3 x + 1 = 1 + sh x 1 + 4 sh x ,

bg b x + yg

e

sh x + 1 sh 3 x + 1 = sh 2 x + 1 4sh 2 x + 1

2

je

e

2

j ee

je

je

j

2

jj

2

.

из которых при у = х, в частности, следует
2 2 2 2 ch x - sh x = 1, ch 2 x = ch x + sh x ,

sh 2 x = 2sh x ch x .

Пользуясь полученным тождеством и (6 ), приходим к (5). Третий способ. А теперь получим (5) с помощью комплексных чисел. Как и выше, мы будем искать какиенибудь непостоянные многочлены А, В, С с целыми коэффициентами такие, что A B и

Докажем с помощью гиперболических функций (2). 2 В равенство ch 2 2 x 1 = sh 2 x подставим
ch 2 x = 1 + 2sh x
2

e

A +1 B +1 = C .

2

je

2

j

2

Достаточно найти многочлены D, F, G с целыми коэффициентами такие, что G const и

и
2 2

sh 2x = 4 sh x 1 + sh x ;

получим

e

2

j

D +G , D + i = F + i
в этом случае
2

b

g bG - ig
2 2

:

(7)

e1

+ 2u

2

j

2

- 1 = 4u 1 + u .

2

e

2

j

D +1 = F +1

С помощью равенства
ch 2 x = 2ch x - 1
2

e

D +1 G +

2

je

2

e j eG + 1j , 1j = ee F + 1jeG + 1jj
2 2 2 2

2

.

легко доказать и (4). Все продемонстрированные приемы полезны при решении более сложной задачи пункта в). в) Первый способ. Воспользовавшись тождеством
cos 3 x = 4 cos 3 x - 3 cos x ,
7 Квант ? 4

Легко видеть, что (7) выполняется в точности при G 0 , F = 2G. Положив G = x, F = 2x, получим

(4 )

Fe H

b

2x + i

gb
2 2

x - i = D + i = 4 x 3 + 3x + i , x2 + 1 = 4 x2 + 1 x2 + 1

4 x 3 + 3x

j + 1IK e

g

j ee

je

jj

2

.