Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/32.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:56 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:11 2012 Кодировка: Windows-1251

Нет, ребята, все не так...
К
можно разрезать (рис. 1) на части, из которых складывается
ВАДРАТ РАЗМЕРОМ 8 Ч 8
a б

КАЛЕЙДОСКОП 'КВАНТА'

Рис.3

Рис.1

прямоугольник размером 5 Ч 13. Значит, 64 = 65. На рисунке 2 квадрат размером 13 Ч 13 разрезан на части, из кото-

MOA тоже равны (по гипотенузе и острому углу). Поэтому ON = OM, так что треугольники BNO и CMO равны (по гипотенузе и катету). Это значит, что BN = CM и AB = AN + NB = AM + MC = = AC, так что AB = AC. Треугольник ABC равнобедренный!
a A

(рис.4,б): AB = AN NB = AM MC = AC, всего лишь вместо суммы разность. Треугольник все равно равнобедренный! *** Многие знают, что если ABCD выпуклый четырехугольник, то
б A

N O B
Рис.2 Рис.4

M

B N

L

C M

L

C

O

рых легко сложить прямоуголь2 ник 8 Ч 21. Значит, 169 = 13 = = 8 21 = 168. Есть и много других столь же эффектных разрезаний (рис.3). *** Ваш учитель геометрии вряд ли согласится, что все треугольники равнобедренные. Тем не менее, это так! Проведем биссектрису угла A треугольника ABC и серединный перпендикуляр к стороне BC (рис. 4,а). Из точки O их пересечения опустим перпендикуляры на стороны треугольника. Прямоугольные треугольники BOL и COL равны (по двум катетам). Значит, BO = CO. Треугольники NOA и

Вы можете возразить, что на точном чертеже точка O попадает не внутрь треугольника, а лежит вне. Более того, знаток геометрии даже скажет, что точка O это середина дуги BC описанной окружности треугольника ABC. На это у меня готов ответ
C D O

M A
Рис.5

B

точкой, сумма расстояний от которой до вершин минимальна, является точка O пересечения диагоналей (рис.5). Доказать это очень легко: для любой точки M по неравенству треугольника имеем AM + MC AC и BM + + MD BD, откуда AM + CM + BM + DM AC + + BD = AO + OC + BO + OD, что и требовалось. Пусть точки A и B неподвижны, а точки C и D стремятся к вершине E равностороннего треугольника ABE (рис.6). Точка O пересечения диагоналей тоже устремится к точке E. Мы доказали, что сумма расстояний от точки O до вершин четырехугольника минимальна. В пределе четы-