Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/59.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:57 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:49 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 13

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

#'
x + y + z +t

скольку V = 365v, то t = 365, т.е. один слон выпьет все озеро за год.

венство в виде
e
4x

+e

4y

+e

4z

+e

4t

+e

+K+ e

x + y + z +t



4. а) x = + 2n , где n Z ; б) x = + 2 n или 4 2 arcsin 3 5 + 2 n , где n Z . 5. 5. 6. -13; 13 . 13. Нужно. Правильный ответ: x = + k , arctg 3 + k или 2 3 arctg + k , где k целое число. 2 14. y2 = x cos - y sin sin + x sin + y cos cos .

Тригонометрические тождества

>C

15. а) x + 3 + y = 4 ; б) x + 3 2 + y - 3 2 = 4 . 16. Сначала выполним поворот на угол по часовой стрелке. Прямая при этом перейдет в ось абсцисс, а точка x; y в точку x cos + y sin ; y cos - x sin . При симметрии относительно оси абсцисс меняется знак ординаты, так что получаем точку x cos + y sin ; - y cos + x sin . При повороте на угол эта точка переходит в точку, абсциссу которой вычисляем по формуле

>

>

C

C

2

2

e

>

je
2

C

j
2

2 y +2 z 2 y +2t 2 z + 2t e +e +e +e +e +e . Докажем, что набор 4 x, 4 y, 4 z, 4t, x + y + z + t,K, x + y + z + t мажорирует 2 x + 2 y, 2 x + 2 z, 2 x + 2t, 2 y + 2 z, 2 y + 2t, 2 z + 2t , откуда и будет следовать решение. Упорядочим оба набора. Ясно, что 4 x x + y + z + t 4t . Предположим, что 4x x + y + z + t 4y

2 x +2 y

2 x +2 z

2 x +2t

b

g

b

g

b

g

bg

(случай 4 z x + y + z + t 4t рассматривается аналогично). Тогда, очевидно, выполняются следующие неравенства:

4 x x + y + z + t 4 y 4 z 4t , 2 x + 2 y 2 x + 2 z 2 x + 2t 2 y + 2 z 2 y + 2t 2 z + 2t , неравенство x + t y + z следует из x + y + z + t 4y x + + t 3y z x + t y + z + 2 y - z и упорядоченности чисел x, y, z, t. Если же 4 y x + y + z + t 4 z , то 4 x 4 y x + y + z + t 4 z 4t ,

b

g

b

g

b b

x cos + y sin cos - - y cos + x sin sin =
= x cos - sin + 2 y sin cos = x cos 2 + y sin 2 .

Аналогично вычисляем ординату:

e

g

2

b

2

j

g

второй набор упорядочен одним из двух способов:
2 x + 2 y 2 x + 2 z 2 y + 2 z 2 y + 2t 2 z + 2t ,

- y cos + x sin cos + x cos + y sin sin =

17. а) - x; - y ; б) 2 a - x; 2b - y ; в) 1 - y; 1 - x ; 18. y = x + 2 . 19. 7x2 + 6 3 xy + 13 y 2 = 16 .

г) -b sin 2 + x cos 2 + y sin 2; 2b cos2 - y cos 2 + x sin 2 .
2 2

e

b

= y - cos + sin + 2 x sin cos = - y cos 2 + x sin 2 .

e

2

g

2

b

g

b

j

g

2 x + 2 y 2 x + 2 z 2 x + 2t 2 y + 2t 2 z + 2t .

g

b

g

j

Неравенство Караматы
1. Требуется доказать, что

Однако при каждом варианте упорядоченности условия неравенства Караматы, как легко проверить, выполняются. 5. Для доказательства 'весового' неравенства Караматы необходимо рассмотреть весовые аналоги лемм 1 и 2. При этом следует применять так называемое весовое раздвижение: одновременное увеличение xi и уменьшение x j с сохранением суммы m i x i + m j x j xi x j .

e

j

a1 + a2 + K + ak k

a1 + a2 + K a n +a
k +2

Конденсаторы в электростатическом поле
n

.

Сводя подобные слагаемые, получаем

1. F = q

b

n - k a1 + a2 + K + ak k a

gb

gd

k +1

+ K an .

i

q d2 - d1 2 0 S + E . d1 + d2 Q l2
2

>

C>

C

Последнее неравенство очевидно, поскольку каждое слагаемое в левой части не меньше любого слагаемого в правой, а количество слагаемых в обеих частях одинаковое. 2. Идея доказательства для m i N указана в статье. Пусть si + , где s i , ti N . Положим Т = m i Q , т.е. m i = ti = t1 t2 K tn и рассмотрим неравенство (4) с весами m i T N . Имеем

2. E1 = 4. a =

0 SU

0 S l1 + l2

, E2 = -

Q

l1

0 S l1 + l2

.

3. E0 =

3A 0 Sd

.

m d-l

>

C

2

.

5. Q = 8 0 RE - q 3 .

LXIII Московская математическая олимпиада
Математический праздник 6 класс
1. Ответ: +1 2 + 4 + 8 16 32 + 64 = 27. Замечание. Попробуйте сами доказать, что а) любое число, получающееся таким способом, нечетно; б) из этой записи можно получить любое нечетное число между числами 128 и 128, причем единственным способом. 2. На рисунке 4 приведены примеры такой закраски. 3. Пусть первая цифра кода х, а вторая у. Тогда само число записывается как 10х + у, а условие задачи можно записать уравнением

m1Tf x1 + m2 Tf x

di

m1T + m2 T + K + mk T

di
2

+ K + m k Tf x

di
k


k

m1T + m2 T + K + mk T откуда после очевидного сокращения получаем (4) для + m i Q . Неравенство Иенсена для m i R + получается из (4) для m i Q + предельным переходом. 3. Введем замену a = 0,5 ln x , b = 0,5 ln y , c = 0,5 ln z и перепишем неравенство в виде
2 a +2b - 4 c 2 a +2 c - 4b 2b +2 c - 4 a a +b -2 c a + c -2b b + c -2 a

f

F GH

m1Tx1 + m2 Tx2 + K + mk Tx

I JK

,

+e +e e +e +e . e Далее решение аналогично рассуждениям задач 1, 2. 4. В силу симметрии будем считать, что a b c d . Введем замену x = ln a , y = ln b , z = ln c , t = ln d и перепишем нера-

x + y + xy = 10x + y . Следовательно, xy = 9х. Так как код двузначное число, то x 0 , а значит, у = 9. При этом х можно взять любым, кроме 0. Ответ: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.

>

C