Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/61.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:58 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:50 2012 Кодировка: Windows-1251

b
Получим

NAC + MNA + MNC + MCN = 180 њ,
2 MNA + MNC = 180њ.

b

gb

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

g

g

$
2

отрезок PQ. Наконец,

MK - ML = 2 MH1 - MH

= 2 MP - MQ =
=2

ANC = MNA + MNC = 90њ,
что и требовалось доказать. 4. Расположению карт в колоде сопоставим число, в котором цифр столько, сколько в колоде карт, причем на k-м месте слева стоит '1', если k-я карта снизу лежит рубашкой вверх, и '2' в противном случае. Тогда после каждого преобразования это число уменьшается. (Действительно, сравним полученное число с предыдущим. Среди всех цифр, которые изменились, выберем самую левую, т.е. найдем самый старший изменившийся разряд. Очевидно, в этом разряде цифра '2' сменилась на '1'.) Поскольку количество n-значных чисел из единиц и двоек коn нечно (равно 2 ), в конце концов мы получим число, состоящее из одних единиц, что соответствует расположению всех карт рубашкой вверх. 5. Указание. Пусть ABCD произвольный прямоугольник, 2 2 2 2 О произвольная точка. Тогда OA + OC = OB + OD (это нетрудно вывести из теоремы Пифагора). Пусть теперь О центр окружности задачи, R радиус этой окружности, ABCD прямоугольник задачи. Имеем: ОВ = = OD = R. Следовательно, любая искомая точка С лежит на окружности, с центром О и радиусом 2 R - OA . Обратно, возьмем любую точку C этой окружности. На отрезке AC как на диаметре построим окружность. Она пересекает данную окружность в двух точках; пусть В любая из них. Рассмотрим прямоугольник АBCD задачи, лежащий по ту же сторону АВ, что и точка C . По доказанному С лежит на окружности , т.е. совпадает с точкой C . 6. Достаточно узнать число, записанное в одной из клеток. Заметим, что Леша знает разность любых двух чисел, записанных в соприкасающихся по точке клетках: x z = x + y y + z (рис.8). Поэтому Леша знает и разx y ность чисел, стоящих в любых двух клетках одного цвета. Осталось заметить, что из этих разностей ровно одна равна 63. z 7. Пусть Р и Q середины АВ и CD, O1 и O2 центры окружностей, Рис. 8 проходящих через точки А, М, С и В, М, D соответственно, H1 и H2 проекции O1 и O2 на прямую PQ (рис.9). 1) Точки М, Р и Q лежат на одной прямой. В самом деле, прямые РМ и QM содержат радиусы окружностей, касающихся в точке М, и, следовательно, перпендикулярны общей внутренней касательной к этим окружностям. 2) Р и Q лежат на окружности с диаметром OO2 . ДейO 1 O ствительно, C B PO1 PO2 , поMQ скольку эти пряK H P мые серединные H L A перпендикуляры, D Рис. 9 соответственно, к отрезкам МА и МВ, угол между которыми прямой (М лежит на окружности с диаметром АВ). Аналогично, QO1 QO2 . 3) Ясно, что KH1 = H1 M , LH2 = H2 M (диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам).
2 2

1 2 =

AB -

1 2

CD = AB - CD .

8. S =S

AOB

-S

Но OH A AH A = OH B BH B = 1 (точки А и В лежат на графике). 2 9. Заметим, что f x = x + 6 - 6 . Отсюда видно, что

AOH A

-S

AH A H B B BOH B

=S

AO K

-S

(рис.10).

KH A H B B

f

b

gb

g

Ответ: x = -6 + 32 6 . 10. Без ограничения общности будем считать длину стороны клетки равной 1; докаy жем, что каждая из рассматриваемых сумм A равна площади многоугольника. Проведем, например, горизонтальные отрезки. Многоугольник разбивается ими на два B треугольника и неK сколько трапеций; высота каждой из этих фигур равна 1. ВыраO H) H* x зим площади фигур чеРис. 10 рез основания и высоты. Сложим эти площади и заметим, что каждый горизонтальный отрезок входит в сумму два раза. 2 11. Ответ: 2000 - 1 . Пусть а = 2000m + n, b = 2000n + m, d наибольший общий делитель а и b. Тогда d делит также числа 2000a - b = 2000 - 1 m и 2000b - a = 2000 - 1 n . 2 Поскольку m и n взаимно просты, то d делит 2000 - 1 . С 2 другой стороны, при m = 2000 2000 1, n = 1 получаем
2 а = 2000 - 1 2000 - 1 , b = 2000 1 = d. 12. Ответ: 0. Указание. График функции sin kx на отрезке 0; состоит из k одинаковых 'шапочек', которые получаются из графика функции sin x на том же отрезке путем сжатия к оси ординат в k раз. При этом площадь под графиком также уменьшается в k раз. Как следствие, суммарная площадь под k 'шапочками' одинакова при любом натуральном k. 3 2 13. Ответ: может. Многочлен P x = x x х 1 имеет

bg b g FH f e f e f d f b xgijjIK = b x + 6g - 6
32

.

e

2

j

e

2

j

e

2

jb

g

корень t, больший 0, поскольку P 0 < 0 и P x + при x + . Тогда t 3 = t 2 + t + 1 > t 2 + t. Возьмем длины пало2 3 чек равными t , t , t. После первого отпиливания получим палочки с длинами t 2 , t, 1. Так как отношение длин не изменилось, процесс будет продолжаться бесконечно. 14. Ответ: а) не могут; б) могут. а) Пусть N число игроков, М = N 2 . Игроков, занявших первые М мест, назовем сильными, а остальных слабыми (между участниками с одинаковой суммой очков места распределяются произвольно). Пусть Х число правильных партий между сильными и слабыми. Сумма очков, набранных сильными во встречах между собой, равна M M - 1 2 , а во встречах со слабыми не больше Х. Поэтому средний результат сильного не больше M - 1 2 + X M . Аналогично, средний результат слабого не меньше N - M - 1 2 + + M N - M - X N - M . Если есть неправильные партии, то не все игроки набрали поровну очков, и средний результат сильного больше, чем слабого. Отсюда X > M N - M 2 >

bg bg

bg

b

g

b

g

4) PH1 = QH2 , так как проекция середины отрезка OO2 де1 лит отрезок H1 H2 пополам; но эта проекция делит пополам и

db

g ib

g

b

g

b

g