Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/06/25.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:06 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:57 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: черные дыры

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

#

Ф1744. В глубинах космоса летает очень большой

сосуд, в котором хаотически движутся маленькие стальные шарики, половина которых имеет диаметр d, а половина диаметр 2d. Шарики упруго сталкиваются между собой и со стенками сосуда, потерь энергии при этом нет. Какие удары происходят чаще маленьких шариков о маленькие или больших шариков о большие? Во сколько раз? Содержимое сосуда очень напоминает 'обычный' идеальный газ для такого газа можно считать, что средние кинетические энергии тяжелых и легких 'молекул' одинаковы. При этом скорости их движения различаются шарики диаметром 2d имеют массу в 8 раз большую, поэтому их средние квадратичные скорости в 8 2,8 раза меньше. Площадь поперечного сечения у такого шарика в 4 раза больше, чем у маленького. Теперь можно оценить частоту ударов. Пусть шарик летит со скоростью v в течение интервала времени t . Объем, в котором находятся 'стукнутые' им шарики, пропорционален площади его поперечного сечения S, скорости движения и длительности интервала времени. (Изменения направления движения при ударах для нас несущественны шарики располагаются в сосуде хаотически, и нам безразлично, где происходят удары. Правда, это справедливо, только если длина свободного пробега существенно больше размера шариков иначе объем 'заметаемого' пространства около точки удара было бы трудно посчитать.) При малой концентрации шариков числа ударов одинаковых шариков друг о друга пропорциональны 'заметаемым' объемам, т.е. Svt . Для больших шариков такой объем получается в 2 раз больше, чем для маленьких: Sб = 4 Sм , vб = vм 8 , поэтому большие шарики сталкиваются между собой чаще в 2 раз. А.Зильберман температуре T0 = 1000 К и давлении p0 = 0,1 Па. Откачанный до глубокого вакуума сосуд объемом V = = 1 л находится внутри большого сосуда. В стенке маленького сосуда открывается клапан площадью S = = 1 мм 2 , а через время = 0,01 с он закрывается. Оцените давление и температуру внутри маленького сосуда после того, как в нем все успокоится. Стенки маленького сосуда очень тонкие, но их теплопроводность совсем мала. Для начала оценим длину свободного пробега молекул в большом сосуде. Концентрация молекул n = 19 3 = p kT 10 1 м (оценки будем делать грубые точные расчеты в этой задаче получаются плохо). Прини-10 м, для мая диаметр молекулы гелия равным d = 2 10 2 1 d n 1 м. длины свободного пробега получим = При такой большой величине длины свободного пробега молекулы влетают в сосуд практически не соударяясь между собой, и работа окружающего газа над влетающими порциями отсутствует. Казалось бы, энергия молекул внутри сосуда должна быть равна среднему значению снаружи, однако доля быстрых молекул среди влетающих в сосуд заметно выше, чем снаружи, быстрые молекулы за заданное время влетают в сосуд с бульших расстояний, чем медленные. Расчет тут провести не про-

сто нужно учитывать долю молекул с определенными скоростями (распределение молекул по скоростям). Можно сделать такую, например, грубую оценку: будем считать, что влетают в сосуд молекулы со средними энергиями, но быстрые молекулы их 'подгоняют'. Оценим давление только быстрых молекул как половину полного давления (строго говоря, их вклад выше, но доля быстрых молекул в общем числе невелика). Тогда 'добавка' к средней энергии вошедшего в сосуд объема V , молекул составит 0,5pV = 05 RT , т.е. можно сказать, что энергия возрастет в 4/3 раза. Это означает, что температура газа в сосуде окажется в это же число раз больше (самое забавное, что аккуратная оценка дает тот же результат!) и составит T 1333 К. Число влетевших молекул можно оценивать любым способом через переданный импульс, просто кинематичес14 ки и т.п., получится примерно 10 молекул. При этом давление в сосуде окажется порядка 0,001 Па. Это существенно меньше давления снаружи, так что обратным потоком молекул из внутреннего сосуда наружу можно пренебречь. Р.Александров

Ф1746. К батарейке напряжением U = 1,5 В подключе-

на очень длинная цепь из множества одинаковых амперметров и такого же ) ) ) количества одинаковых вольтметров (см. 8 8 рисунок). Каждый из амперметров имеет сопротивление r = 1 Ом, сопротивление каждого вольтметра R = 10 кОм. Что показывают первый и второй амперметры? Найдите сумму показаний всех амперметров и сумму показаний всех вольтметров в этой цепи. Для начала находим обычным способом сопротивление бесконечной цепочки:
Rобщ = r 2 + r
2

Ф1745. В очень большом сосуде находится гелий при

4 U Rобщ

+ rR = 100,5 Ом .

Тогда ток первого амперметра равен
I1 = = 14,9 мА .

bg

Первый амперметр с оставшейся частью схемы образует так называемый делитель напряжения: сопротивление 'оставшейся' части составляет Rобщ r = 99,5 Ом, тогда после первого звена к остальной цепи будет приложено напряжение U 99,5 100,5 = 0,99U. Следовательно, второй амперметр покажет
, I2 = 099I1 = 14,8 мА .

e

j

Сумму показаний всех амперметров можно найти совсем простым способом. Действительно, сумма напряжений амперметров равна напряжению батарейки, т.е. 1,5 В, ток амперметра определяется отношением его напряжения к его сопротивлению, тогда сумма токов равна
, = 15 А . 1 Ом Сумму напряжений всех вольтметров можно найти таким I
общ

=

15 B ,

7 Квант ? 6