Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/06/21.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:06 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:55 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 13

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'



каждого из них тоже m. 1 ) Считая силу тяги локомотива постоянной и равРис.3 ной F, найдите время, за которое в движение будет вовлечено N вагонов. 2) Полагая, что состав очень длинный ( N ), определите предельную скорость v локомотива. П.Бойко, Ю.Полянский горизонтали, между которыми расстояние 2а, прикреплена тонкая легкая нерастяжимая нить длиной 2l (рис.4). По нити без трения = скользит маленькая тяжелая бусинка. Ускорение свободного падения g. ) * 1) Найдите частоту C малых колебаний бусинки в плоскости, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки креплеРис.4 ния нити. 2) Найдите частоту малых колебаний бусинки || в вертикальной плоскости, проходящей через точки крепления нити. 3) При каком отношении l/a траектория движения бусинки в проекции на горизонтальную плоскость может иметь вид, представленный на Рис.5 рисунке 5? Примечание : при решении задачи вам может оказаться полезной формула 1 12 1 + x 1 + x - x +K 2 8 при x ?1 . В.Пестун 10 см и высотой 1 м содержит под поршнем массой 2 кг сухой воздух и три одинаковые маленькие ампулы с водой. Температура воздуха снаружи +100 њС, атмосферное давление нор3 мальное. Вначале поршень висит на высоте 20 см над дном сосуда, а после того, 4 как одна из ампул лопнуH ла, он поднялся и окончательно остановился на высоте 40 см. Сколько воды было в ампуле? Выскочит ли поршень из сосуда, если лопнут остальные две амG пулы? А.Зильберман Рис.6
6 Квант ? 6

Ф1762. Найдите силу взаимодействия двух непроводящих полусфер радиусами R и r с зарядами Q и q соответственно, распределенными равномерно по поверхностям полусфер (рис.6). Центры и плоскости максимальных сечений полусфер совпадают. Г.Григорян

Решения задач М1726М1735, Ф1743Ф1747
М1726. На плоскости проведено n прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все возможные значения n.
Ответ: 2000 или 3998. Если среди n прямых нет параллельных, то n = 2000, так как каждая прямая пересекается со всеми остальными. Если же у какой-то из n прямых есть ровно K ей параллельных, то у любой прямой другого направления тоже есть ровно K ей параллельных (иначе эти две прямые пересекались бы с неодинаковым числом других). Значит, n = K + 1 S , где S число различных направлений, которым параллельны прямые. Но тогда 1 999 = = K + 1 S - 1 . Так как 1999 число простое, то K + 1 = = 1999, S = 2, т.е. n = 3998. Р.Женодаров

Ф1760. К двум точкам А и В, находящимся на одной

>

>

C>

C

C

М1727. Неутомимые Фома и Ерема строят последова-

тельность. Сначала в последовательности есть одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерема вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 10 раз. Пусть первое число последовательности строго меньше 99K90 . Покажем, что все члены последовательности не 13 2
n n +1

превосходят 99K9 . Каждый раз к числу прибавляется не 13 2 более 9, поэтому для того, чтобы перейти через 99K9 , 13 2 сначала Фома должен получить число 99K9 ?, где ? одна 13 2 из цифр. Ерема может из этого числа вычесть 9, тогда (при ? < 9) снова получается число, меньшее 99K90 . Если же 13 2
n n n +1

Ф1761. Высокий вертикальный сосуд с площадью дна
2

Ерема вычитает ?, то получается 99K90 . Фома может 13 2 прибавить 0, не изменив числа, или прибавить 9, получив 99K9 . В любом случае через 99K9 он не перейдет. 13 2 13 2 Таким образом, после того как выписано достаточно много членов последовательности (скажем, 100K0 99 + 1), со13 2 гласно принципу Дирихле хотя бы одно число повторится даже не 10, а по крайней мере 100 раз, так как все члены последовательности целые числа из отрезка [0; 99K9] . 13 2 А.Шаповалов
n +1
n +1 n +1 n +1 n

М1728. Точки K, L на сторонах АС, СВ треугольника

АВС это точки, в которых вневписанные окружности касаются сторон. Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и АВ,