Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/06/22.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:06 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:56 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

КВАНT 2000/?6

а) делит периметр треугольника АВС пополам; б) параллельна биссектрисе угла АСВ. Достроим чертеж задачи до симметричного чертежа, и соображения симA метрии помогут нам M ее решить (см. рисуK B L нок). Равнобочные трапеC ции и AA1 B1 B KK1L1L обладают L K тем свойством, что основание AA1 паB M A раллельно основанию KK1 и отстоит от него на то же расстояние, что и BB1 от LL1 . Это следует из того известного факта (который легко перепроверить), что отрезки касательных AK и BL равны. Теперь можно сказать, что средняя линия MM1 трапеции AA1 B1 B является также средней линией трапеции KK1L1L . Чтобы завершить доказательство, осталось сделать два замечания. Первое: MM1 делит диагональ AB1 трапеции AA1 B1 B пополам, а половина этой диагонали равна полусумме сторон АС и ВС треугольника АВС. Второе: MM1 параллельна биссектрисе угла АСВ. Л.Емельянов

М1729. Натуральный ряд чисел разбит на две бесконечные части так, что любая тройка чисел из какойлибо части дает в сумме число, принадлежащее той же части. Докажите, что нечетные числа принадлежат одной части, а четные другой.
Для удобства изложения будем считать числа одной части красными, а другой синими. Докажем, что любая пара чисел вида (n, n + 2) одноцветна. Допустим противное: нашлось такое красное число n, что число n + 2 синее. Тогда возьмем синее число m (m > > n + 2) такое, что число m + 1 красное, а также синее число k (k > m) такое, что число k + 1 красное. В этом случае тройка красных чисел (n, m + 1, k + 1) в сумме дает красное число n + m + k + 2. Но тройка синих чисел (n + 2, m, k) в сумме дает синее число n + m + k + 2; получено противоречие. Теперь можно заключить, что все нечетные числа одноцветны, а также, что все четные числа одноцветны. Но все натуральные числа не являются одноцветными. Значит, нечетные числа имеют один цвет (например, красный), а четные другой (например, синий). Напоследок можно отметить, что в условии задачи слова 'любая тройка чисел' правомерно заменить на слова 'любые 2k +1 чисел' утверждение при этом останется в силе. В.Произволов М1730*. Продолжения противоположных сторон произвольного выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках М и K (рис.1). Через точку О пересечения его диагоналей проводится прямая, параллельная MK. Докажите, что отрезок этой прямой, заключенный внутри четырехугольника, делится точкой О пополам. Проведем через точку D прямую l (сделайте чертеж самостоятельно), параллельную KM; пусть Е и F точки пересечения l с прямыми ВС и ВА соответствен-

K но. Пусть для определенности прямая, проходящая через О параллельно KM и l, пеC ресекает стороны АВ и B CD четырехугольника. В этом случае для реO шения задачи надо доказать, что точка О лежит на медиане KL треугольника DKF. Мы M D A докажем, что О точРис.1 ка пересечения медиан KL и MN треугольников DKF и DME соответственно. Обозначим точку пересечения медиан KL и MN через Х. Докажем вначале, что Х лежит на BD, т.е. что прямые DX и BD совпадают. Для этого докажем, что они делят отрезок KM в одном и том же отношении. Пусть Y точка пересечения DX и KM. Имеем: KY/LD = = XY/DX (поскольку треугольники XYK и XDL подобны), MY/DN = XY/DX. Поэтому KY/MY = LD/DN. Аналогично доказывается, что BD делит KM в отношении FD/DE. Но FD = 2LD, DE = 2DN. Осталось доказать, что Х лежит на отрезке АС. Другими словами, что KL и MN делят отрезок АС в одном и том же отношении. Лемма 1. VS/BV = AS/AC, где S точка на стороне АС треугольника АВС, V точка пересечения прямой BS с медианой AN этого треугольника. Доказательство. Рассмотрим точку Т отрезка ВС такую, что ST || AN. Из теоремы Фалеса следует, что VS/BV = = NT/BN = NT/NC = AS/AC. Лемма 2. VS/UV = (AS/AU)(AB/AC), где U и S точки на сторонах АВ и АС треугольника АВС соответственно, а V точка пересечения прямой US с медианой AN этого треугольника. Доказательство. На стороне АС возьмем точку Z такую, что UZ || BC. По лемме 1 имеем VS/UV = AS/AZ, а по теореме Фалеса AC/AB = AZ/AU. Осталось перемножить эти равенства. Доказанные утверждения позволяют завершить решение задачи. Именно, по лемме 2 медиана KL делит отрезок АС (считая от С) в отношении m = (CK/KD)(KF/AK), а медиана MN в отношении n = (MC/ME)(MD/MA). Но MC/ME = KC/KD, KF/AK = MD/MA. Следовательно, m = n. Утверждение задачи доказано. Замечание. Вот еще одно, более естественное, хотя и несколько более сложное, доказательU ство леммы 2. Проведем через V параллельные AS и AU y прямые (рис.2). ИмеV ем: x/y =A x S = AC/AB (это характеристическое Рис.2 свойство точек медианы!). Теорема Фалеса дает: VS/y = US/AU, x/UV = AS/US. Перемножая эти два равенства, получаем VS/UV = (AS/AU)(y/x) = = (AS/AU)(AB/AC). Лемма доказана. М.Волчкевич, В.Сендеров