Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/01/43.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:40 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:05 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

43
окружности Г; M1 , M2 , точки пересечения Г с 1 , 2 , соответственно; инверсными им будут точки M1 , M2 , Так как при инверсии углы сохраняются, то окружность Г пересекает каждую из окружностей n под прямым углом. Обозначим BAM1 = 0 , Mn AMn +1 = n для любого номера n, тогда BDM1 = = 2 0 , Mn DMn+1 = 2 n . Очевидно, tg 0 = AN = R - r R + r ,
tg 0 +

А теперь сформулируем и докажем утверждение, обобщающее задачи 1 и 2 Архимеда. Предложение. Пусть АВ и АС диаметры полукругов (рис.8). Впишем в образовавшийся роговидный угол последовательность окружностей 1 , 2 , с радиусами r1 , r2 , , попарно касающихся друг друга; положение первой окружности произвольно. Обозначим через hn длину перпендикуляра, опущенного из центра n-й окружности на АВ. Отношения xn = hn : rn образуют арифметическую прогрессию с разностью 2. Доказательство. Пусть O1 , O2 , центры окружностей 1 , 2 , Будем считать АВ = 2R, AC = 2r. Произведем инверсию полученной конструкции относительно окружности произвольного радиуса с центром в точке А. На рисунке 8 взята окружность радиуса 2R. В результате инверсии исходные полуокружности перейдут в лучи BL и CK , перпендикулярные прямой АВ, а 1 , 2 , в окружности 1 , 2 , , касающиеся этих лучей и попарно друг друга. (Напомним, что центры P , P2 , этих окружностей не 1 являются инверсными для точек O1 , O2 , ) Обозначим через радиусы полученных окружностей. Опустим из центров O1 и P перпендикуляры OH 1 1 и PN на прямую АВ и обозначим 1 OH = h1 , PN = . Окружности 1 и 1 1 1 , как и треугольники AO1 H и AP N , 1 гомотетичны с одним и тем же коэффициентом гомотетии. Поэтому x1 = = h1 r1 = . Для следующей окружности имеем x2 = h2 r2 = x1 + 2. Аналогично, для любого натурального числа n выводится рекуррентное соотношение xn +1 = xn + 2 . Следовательно, последовательность xn представляет собой арифмети-

mr

ческую прогрессию с разностью 2. Предложение доказано. Чтобы получить решение задачи 1 Архимеда, нужно к последовательности xn присоединить еще один член x0 = 0. При этом к последовательности вписанных окружностей присоединяется полуокружность арбелона с диаметром СВ. Нужно только помнить, что в задаче 1 Архимед рассматривает отношение hn не к радиусам rn , а к диаметрам, поэтому у него возникает последовательность натуральных чисел, а у нас четных чисел: 2, 4, 6, Полагая в последовательности xn x1 = 1, получаем последовательность нечетных чисел, т.е. решение задачи 2 Архимеда. Архимеда интересовало и выражение для радиуса окружности, вписанной в арбелон (т.е. для r1 ), через радиусы R и r исходных кругов. Он рассмотрел случай, когда r : R = 3 : 5 и, используя пропорциональность отрезков, получил, что r1 : R = 6 : 19. Доказательство Архимеда легко может быть перенесено на любой арбелон. Инверсия дает возможность выразить rn через R и r для любого n при произвольном расположении первой окружности. Для упрощения вычислений проведем их лишь для случая арбелона. Оставим те же обозначения, которые использовались при доказательстве предложения; радиус базисной окружности будем считать рав2 ным 2R. Тогда AC = 2 R r и = = R R - r r . Центры P , P2 , ок1 ружностей 1 , 2 , лежат на серединном перпендикуляре NP отрезка 1 BC (рис.9). При инверсии относительно окружности этот перпендикуляр перейдет в полуокружность Г, построенную на диаметре AN , равном 4 Rr R + r . Пусть D центр

mr

c

1

h

b

gb

g

= 3 AN = = 3 R-r
n

mr

и вообще,

b

gb

R+r ,

g

tg 0 + 1 + K +

c

= 2n + 1 R - r

b

h

=

gb

gb
0

R+r .

g

Из треугольника M1 DO1 имеем

r1 = DM1tg 1 =
=

2 Rr R+r
2

tg 0 +
R-r R+r R-r

ec

1

h

-

j
2

=

2Rr = R+r

1+ 3

b b

R+r

g g

2 2

=

Rr R - r
2

b

g

R + r - Rr

.

b

g

Это результат Архимеда для произвольных R и r. Записывая для любого n угол n в виде разности n = = 0 + K + n 0 + K + n -1 , аналогично находим Rr R - r rn = . 2 Rr + n2 R - r

c

hc

b

Упражнение 3. Покажите, что для второй задачи Архимеда (здесь 0 = 0)
rn =

b

g

h

g

b

g

В общем случае формулы для rn имеют сложный вид. В Предложении фиксированные окружности радиусов r и R касались друг друга внутренним образом. Как (Окончание см. на с.54)

b

R+r

g

4 Rr R - r
2

+ 4n

b

g bn - 1gb

R-r

g

2

.



P
M

Г 1 1 D

L


O M O 1 M C
N

P
M

Г 1 1 D

2R


1 A
Рис. 9

0

20

B

N

+

A C C
Рис. 10

B

D