Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/01/61.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:41 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:29:38 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 13

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

61
+ 4y + 4 4 = k1 , =- 2 + k2 ,

5. -

26

;

34

. Указание. Уравнение равносильно системе

после чего приходим к системе

R | S | | T

9 12

x

12

,

cos 15 x - sin 12 x = 0.
2

6.

d

3

3

sin

2

cos

2

2

- cos 2 . Указание. Пусть О центр d

сферы, М середина AS. Тогда ОМ =

, АС = d. Аналогич2 но, ВС = d. При отыскании высоты SH данной пирамиды докажите, что точка Н лежит на продолжении высоты СР треугольника АВС за точку С.

7. При b = -

1

22 3 1 b= + два решения: 22 2

единственное решение

F GH

1
8

5

; 1;

4

IиF JK GH

F GH

1 5
8

; 0; 0 . При
1 5 ; - 1; - 4

I JK

где k 1 , k2 , k 3 , k 4 Z , причем k 1 и k2 , а также k 3 и k 4 имеют одинаковую четность.

Rz | | | |2 | | S |3 | | | |4 | | T

z + 2y - 4

z+

= k3 , 4 =- 2 + k 4 ,

z - 2y -

I JK

Вариант 16
1. 1; 3. 4.
30 - 10

.

5

Указание. Второе уравнение исходной системы равносильно тому, что у = tg z , z < 2 , а первое уравнение имеет вид
f x = g z , где f x = - log

k
3

bg

bg

bg

+ b sin 2 z . Пусть E f и E g Для того чтобы уравнение решений, необходимо, чтобы E f 1 E g состояло из единственной точки.

FG x 2 - 5 x IJ , gb z g = b + H K области значений функций f и g. f b x g = g b z g имело конечное число
8 8 2 5

6. 2 O1 DO

e

7. 3; 2 . Указание. Вычитая из утроенного второго неравенства первое, получаем следствие

e

. 20 1 3 - 17 , + arccos + k , k Z . 2 4 10 5 . 5. -; - 11 7 5 ; 3 . sin cos 13 13 3 - 1 . Указание. Воспользуйтесь тем, что треугольник 2 прямоугольный, DC O1O2 и O1 D = O1C O1O2 . 2
7

.

2. A = 1 >

5

j

b

g

j

j

1.

3. +

F GG H F GH

4 37 + 69 ; . 7 50 6 + 2 n; -1

bg
12

I JJ K

Вариант 14
2. 7
4
log 2

b

x-3

g +e
2

y -2

2

j

2

0.

F GG H

41 - 5 2

I JJ K.
+ 2 n; -1

ФИЗИКА

k

+ k

I, F JK GH

+

4

bg

k

3

+ k , k, n Z .

I JK

Физический факультет
1. Из закона сохранения импульса следует, что скорость шайбы непосредственно после щелчка uш , ее скорость v ш и скорость доски v д в момент соскальзывания шайбы должны удовлетворять соотношению mu ш = Mv д + mv ш , (1) где m масса шайбы, а М масса доски. Учитывая, что перемещение шайбы относительно доски к моменту соскальзывания не зависит от ее начальной скорости, на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что
+ A, 2 2 2 где А работа сил трения. Из равенств (1) и (2) при u и M/m = k получим 2A k 2 = u. m k +1 mu
2 ш

4. р = 9; [1; 3].

6. a 5 11; 6 13 . Указание. Из первого уравнения получаем у = 6х + 7 +
2x - 3 у, соответственно, 1, 31 и 29. Осталось подставить найденные пары в неравенство исходной системы и выяснить, при каких а ровно 5 натуральных чисел z дают вместе с х и у решения задачи.

b

5. 1820 21 341 .

, откуда х может равняться 1, 2, или 3, а

=

Mv

2 д

+

mv

2 ш

(2)
ш

1.

2 3

.

2. -; - 9 7

b

4. arcsin 5. y = -

17 - 1


g FGH 2 ; 1IJK 7 LMN 3


Вариант 15
11 2

=u (3)

;+ .

I JK

3. 15.

4
+

+ + 2 n , n Z .
+ k , k, n Z . Указание. Из

При u ш = nu из соотношений (1) (3) следует, что искомая скорость доски должна удовлетворять уравнению
k k + 1 v д - 2nkuv д + ku



24 6 12 первого уравнения следует, что cos z + 4 y +

k + n , z = -

b

g

2

2

b

k +1 = 0.

g

F GH

4

I JK

= - sin 2 z + 2 y -

F GH

4

I JK

= +1 .

Аналогично, из второго уравнения получаем

cos 3z +

F GH

4

I JK

= - sin 4 z - 2 y -

F GH

4

I JK

Очевидно, что при n время взаимодействия шайбы с доской должно стремиться к нулю; следовательно, искомая скорость доски по мере увеличения n (после того, как оно превысит некоторое критическое значение) должна уменьшаться (в пределе до нуля). Поэтому из двух возможных решений полученного квадратного уравнения условиям задачи удовлетворяет корень
vд = u n - n -1 k +1
2

= +1 ,

.