Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/02/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:46 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:45 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 81

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

57

R. По условию, радиус основания 'ваньки-встаньки' r = R. Отклоним игрушку на угол относительно равновесного вертикального положения. Смещение центра тяжести H по вертикали равно (см. упражнение 1)
H = h1 + h2 = - r - x - 2r cos - r cos 2 + x cos 2 = 2 2 + 2 r - x sin , = -4 r sin 2 где х искомая величина расстояния СР от точки контакта игрушки с опорой (в положении равновесия) до центра тяжести. По условию, качение игрушки на опоре происходит без проскальзывания. Как видно из формулы для H , у игрушки с высоко расположенным центром тяжести, т.е. когда x r , величина H всегда отрицательна, поэтому равновесие неустойчивое. Но при небольших значениях х, т.е. когда центр тяжести 'ваньки-встаньки' находится вблизи его основания, величина H положительна, и игрушка на вершине сферы находится в равновесии. При ее отклонении на угол она возвращается в исходное положение, если угол не слишком велик. С ростом угла центр тяжести игрушки поднимается, достигает максимальной высоты (при некотором угле 0 ) и далее начинает опускаться. Как обычно при поиске экстремума, величиdH = 0, откуда находим на 0 определяется из условия d 1 x R = 1- cos 0 = , или . 2 cos 0 r 2 r-x

b

g

что центр тяжести полуy шария находится от r H P нижней его точки на расстоянии, меньшем 5 r 8 . Но в точке на рас0max O стоянии 5 r 8 находится, A 2 как известно, центр тя0max жести однородного поx O лушария. Таким обраr зом, по сравнению с однородным телом такой же формы полушарие утяжелено книзу, чем и достигается устойчиРис. 6 вость его равновесного положения на закрепленной сферической поверхности такого же радиуса. 4. Проскальзывание приведет к тому, что область устойчивости положения равновесия сузится. Для очень гладких и скользких поверхностей возможен случай, когда равновесие будет неустойчивым, где бы ни находился центр тяжести тела. 5. У скалы, вообще говоря, могут быть другие равновесные положения. Поэтому ее можно опрокинуть, наклонив на достаточно большой угол.

На рисунке 5 приводится график зависимости x r от 0 . Из этого графика можно определить положение центра тяжести игрушки, если известен предельный угол 0 . Очевидно, что по условию 0 не должен превышать 3 , а тогда центр тяжести оказывается удаленным от точки контакта с опорой на расстояние, меньшее r/2. Чем ниже центр тяжести, тем устойчивее тело на опоре и тем шире область устойчивости. В нашей задаче из всех тел наибольшей устойчивостью обладает легкая, почти невесомая сфера с компактной, но тяжелой массой, закрепленной около ее основания. При качении такого тела по круглой опоре без проскальзывания центр тяжести тела описывает кривую, которая называется кардиоидой. (Это алгебраическая кривая четвертого порядка, частный случай так называемой эпициклоиды.) Уравнение кардиоиды в декартовых прямоугольных

b

g

Калейдоскоп 'Кванта'
1. Указание: отнюдь не шесть десятков. 2. 3 минуты. 3. Нет, не зависит. Условимся писать вместо знака '+' число +1, а вместо знака '' число 1. Операция стирания двух знаков не меняет произведения всех написанных на доске чисел, так что последнее оставшееся число будет равно произведению всех имеющихся вначале чисел.

Закон сохранения импульса
1. tg = 2. u =
5 6

d

m2v2

i +d
2

m1v1

m3 v

3

i

2

=

6

v = 5 м с ; W =

m5 26

F GH

5

, 50њ.
2 22

v +g t

x/r 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
Рис. 5

3. 1) v1 =

2g H - h ; 2) v2 =

b

g

8g H - h 5

b

I JK

= 63 Дж.

g

.

Институт естественных наук и экологии при 'Курчатовском институте'
0 10 20 30
2 2

40

50

60
2

град

МАТЕМАТИКА
1. x1 = a , x2 = a при b > 2; х = а при b = 2; a > 0, a 1. 2. При р < 0 решений нет; = 2k , k Z , при р = 0;
b 2 4 4b 2

координатах имеет вид x + оиду можно легко построить циркуля и линейки. По виду и этот факт отражен в самом во kardia означает сердце. Мы показали, что угол между осью кардиоиды и отрезком, проведенным в точку, в которой касательная к кардиоиде параллельна х, равен 0 max 2 = 30њ. Соответствующий этой точке максимальный подъем центра тяжести игрушки равен H = r 2 . Если центр тяжести игрушки находится выше границы основания, то при вращении без проскальзывания на сфере того же радиуса этот центр описывает кривую, которая называется укороченной кардиоидой одной из разновидностей улитки Паскаля. 1 1 1 3. Из условия задачи и неравенства > + следует, CP R r

e

y + 2ry = 4 r x + y . Кардисамим по точкам с помощью она напоминает сердце (рис.6), названии кривой: греческое сло-

j

2

e

2

2

j

+ 2n , n Z , 4p 4p при р > 0; при p 1 в дополнение к предыдущим решениям появляются еще решения 1 + 8p + 1 1 + 8p + 1 + 2m , - arccos + 2m + arccos 4p 4p m Z . 1 2 2 3. y = x + 2x + 11 и y = - x - 4 x - 18 ; S = 57 . 6 4. Минимальное значение равно 4 и достигается при х = 2, у = 2; максимальное равно 8 3 и достигается при х = - arccos + 2n arccos
=4
3 , у = 2 3 и при х = 2 3 , у = 4 3.

1 + 8p - 1

1 + 8p - 1