Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/kv0300sheronov.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:52 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:36:50 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: адиабатический процесс

ПРАКТИКУМ ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

АБИТУРИЕНТА

49

Закон сохранения энергии для одноатомного идеального газа
А.ШЕРОНОВ

В

выполняется закон сохранения энергии, или первый закон (первое начало) термодинамики, который удобно записывать в виде

О ВСЕХ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССАХ

Q = U + A .
Здесь Q подведенное количество теплоты, А совершенная термодинамической системой работа и U изменение внутренней энергии системы. Внутренняя энергия является функцией состояния термодинамической системы и для идеального газа зависит только от его температуры Т. Для одного моля одноатомного газа она равна U = 3/2 RT (где R универсальная газовая постоянная). Любое (как бесконечно малое, так и конечное по величине) изменение внутренней энергии определяется лишь разностью температур конечного и начального состояний:

При конечном изменении объема от V1 до V2 в обратимом процессе работа газа численно равна площади под кривой зависимости его давления от объема p V , ограниченной изохорами V1 и V2 , т.е.

а внутренняя энергия идеального одноатомного газа оказывается равной 3 U = RT = CV T . 2 В адиабатическом процессе тепло к газу не подводится и не отводится от него. Работа газом (или над ним) совершается за счет изменения его внутренней энергии: А = U = = - 3 2 R T2 - T1 , где T2 и T1 температуры в конечном и начальном состояниях. Это оказывается верным как для малого, так и для конечного изменения температуры газа, поэтому в адиабатическом процессе для элементарной работы имеет место равенство A = pV = -CV T ,

c

h

bg

V2

A=

V 1

z

p V dV .

bg

В задачах на расчет тепловых процессов с идеальным газом полезным оказывается введение понятия теплоемкости С газа в данном процесса:

где V и T малые, по сравнению с первоначальными значениями, изменения объема и температуры газа. Теплоемкость в адиабатическом процессе, очевидно, равна нулю ( Q = CT = = 0). В изотермическом процессе подвода или отвода тепла внутренняя энергия газа не изменяется. При расширении одного моля газа от объема V1 до объема V2 газ совершает работу, которую можно найти, воспользовавшись уравнением состояния газа pV = RT:
V2

Q = CT ,
где T малое изменение температуры газа при подведении к нему малого количества теплоты Q . Заметим, что введенная таким образом теплоемкость зависит от вида процесса p V и может менять свою величину и даже знак в ходе этого процесса. Напомним теперь основные характеристики часто встречающихся процессов. В изохорическом процессе нагрева или охлаждения газа работа газом (или внешними силами) не производится. Поэтому подведенное (или отведенное) количество теплоты Q равно изменению внутренней энергии газа: Q = U = 3 2 RT (для одного моля газа). Это соотношение оказывается верным для любого изменения температуры газа как малого, так и конечного, поэтому соответствующая изохорическому процессу теплоемкость оказывается постоянной и для одного моля газа равной 3/2 R. Она называется молярной теплоемкостью при постоянном объеме и обозначается CV . Таким образом,

A=

V 1

z

p V dV =

bg

V2

V 1

z

RT V

dV = RT ln

V2 V1

.

bg

U =

3 2

RT

и не зависит от способа перехода из начального состояния в конечное. Это остается справедливым и в том случае, когда газ переводится из начального равновесного состояния в конечное равновесное состояние в результате неравновесного необратимого процесса. Напротив, работа А, которая совершается газом за счет подведенного тепла или изменения его внутренней энергии, зависит от пути перехода между двумя равновесными состояниями. Элементарная работа A в любом обратимом процессе по определению равна произведению давления р на малое изменение объема газа V в двух соседних равновесных состояниях этого процесса: A = pV .

По закону сохранения энергии, подведенное к газ количество теплоты равно совершенной газом работе: Q = A. При расширении газа A > 0, при сжатии A < 0 (работа совершается внешними силами, тепло от газа отводится). Так как температура газа не изменяется ( T = 0), теплоемкость газа в изотермическом процессе оказывается бесконечно большой. В изобарическом процессе нагрева с постоянным давлением р = p0 работа одного моля газа при расширении от объема V1 до объема V2 равна

A = p0 V2 - V1 = R T2 - T1 .
Подведенное количество теплоты Q идет на совершение работы и на увеличение U = CV T2 - T1 внутренней энергии газа. Для нахождения теплоемкости Cp в изобарическом процессе воспользуемся уравнением процесса р = p0 и уравнением состояния pV = = RT: Q = Cp T = U + pV =

c

hc

h

c

h

CV =

3 2

R,

= CV T + RT = CV + R T .

c

h


50
Отсюда получаем, что теплоемкость при постоянном давлении постоянна и для одного моля газа равна

КВАНT 2000/?3

Cp = CV + R =

5 2

R.

цессе 1 и в процессе 2 с прямой пропорциональной зависимостью давления от объема (рис.1). Для изобары 1 мы имеем:

p p 2 1

A1 = R T2 - T1 , U1 = 3 2

?

Напомним также определение КПД тепловой машины, работающей по замкнутому циклу, в результаты которого внутренняя энергия газа (рабочего тела) не изменяется. По закону сохранения энергии, работа газа в замкнутом цикле А равна разности количества теплоты Q1 , подведенного к газу, и количества теплоты Q2 , отведенного от него. КПД цикла называется отношение

R T2 - T1 , 5 2 R T2 - T1 .

?

D

D

Q1 = U1 + A =

?

D

p V
Рис. 2


Для процесса 2 (на диаграмме pV прямая проходит через начало координат) работа равна площади заштрихованной трапеции:

V

V

A=

p1 + p2 2
=

?V

2

- V1 = 2 = R 2

D

или, если ввести обозначение V2 V = 1 = и воспользоваться уравнением изотермы pV = p2V2 = RT, 11

=

Q1 - Q2 Q1

=

A Q1

.

pV2 - p1V1 2

?

T2 - T1 .

D

A2 =

pV2 - p2V 1 1 2

= RT

-1 2

2

.

Еще раз подчеркнем, что для нахождения правильного значения КПД необходимо подсчитать тепло, подведенное на всех участках процессов, составляющих цикл. Так например, в изохорических процессах работа газом не производится, однако тепло подводится или отводится. В задачах могут также встречаться внешне простые участки зависимости р(V), в ходе которых тепло как отводится, так и подводится. Если для такого участка найти 'итоговое' подведенное или отведенное тепло, то при подсчете КПД может возникнуть ошибка. Отметим, наконец, что только для цикла Карно, состоящего из двух изотерм с температурами нагревателя T1 и холодильника T2 , на которых, соответственно, подводится количество теплоты Q1 и отводится Q2 , и двух адиабат, КПД может быть записан в виде Q - Q2 T - T2 = 1 =1 . Q1 T1 Разберем теперь некоторые конкретные задачи на тепловые процессы с участием одноатомного идеального газа. Задача 1. Сравните работы, количества теплоты и теплоемкости 1 моля идеального газа при переходе между двумя изотермами с температурами T1 и T2 в изобарическом про-

Изменение внутренней энергии в этом процессе такое же, как в предыдущем:

U2 = U1 =

3 R T2 - T , 1 2

>

C

Внутренняя энергия в процессе 2, как и в процессе 1, не изменилась, поэтому по закону сохранения энергии можно утверждать, что газу было передано количество теплоты

а количество теплоты, подведенное на участке 2, равно
Q2 = A2 + U2 = 2 R T2 - T1 .

Q2 = A2 .
Итак, для обоих процессов работа определяется отношением конечного и начального объемов. Отметим, что для процесса 2 теплоемкость не остается постоянной, более того она меняет знак в ходе процесса от положительного к отрицательному. Это означает, что сначала тепло подводится, а затем отводится. Задача 3. Вершины замкнутого цикла, состоящего из четырех участков линейной зависимости давления от объема, лежат на двух изотермах с известными температурами T1 и T2
p

?

D

Как видно, в обоих процессах работа и подведенное количество теплоты определяются лишь разностью температур конечного и начального состояний газа. Следовательно, теплоемкости в процессах остаются постоянными и равными, соответственно,

C1 =

5 2

R , C2 = 2 R .

p 1 p p

При этом, независимо от начального давления для изобары и от наклона прямой в переходе с прямой пропорциональной зависимостью давления от объема, работы перехода между двумя изотермами отличаются в 2 раза, а теплоемкости в 5/4 раза. Задача 2. Сравните работы и количества теплоты, подведенные к 1 молю газа, в процессе 1 изотермического расширения газа от объема V до 1 V2 и в процессе 2 перехода между этими состояниями с линейной зависимостью давления от объема (рис.2). Для процесса 1 имеем:

2 1 "
Рис. 3

3 Т


Т V

A1 = RT ln 2 Т Т V V V

V2 V 1

,

Q1 = A1 .
Для процесса 2 работа равна площади соответствующей трапеции:

Рис. 1

A2 =

p1 + p2 2

?V

2

-V , 1

D

(рис.3). Прямые 12 и 34 проходят через начало координат, объемы V2 и V4 равны. Найдите работу одного моля газа в замкнутом цикле. Работы на участках 12 и 34 одинаковы по величине (см., например, задачу 1). Поэтому работа в цикле равна A = A23 - A41 .


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

51
(рис.5). Найдите работу, совершенную газом при расширении через турбину в переходе 12, если в процессах 23 и 31 к газу в итоге было подведено количество теплоты Q = =72 Дж. Известно, что T2 = T3 и V2 V3 = 3. Хотя процесс расширения 12 через турбину необратим, но, если начальное и конечное состояния равновесны, по закону сохранения энергии можно утверждать, что работа, совершенная в этом процессе, равна изменению внутренней энергии газа:
A12 = - CV T2 - T1 = CV T1 - T2 .

При этом
A23 = RT2

@V

3

V2

= RT2

@V

2 V3 V2

E

2

-1

F
=



3

V4

2V3 V4
2

E

2

-1

= RT2

T2 T1 - 1 2 T2 T1
Рис. 4

(по условию p3 V3 = p4 V4 , следовательно, T1 V4 = T2 V3 ) и, аналогично, T T -1 A41 = RT1 2 1 T1 . 2 T2 Окончательно работа в цикле 12 341 равна
A= R T2 - T1 2 T2 T1
2

! 8

?

D

2

.

Задача 4. Моль гелия из начального состояния с температурой Т = 300 К расширяется в адиабатическом процессе так, что относительное изменение его давления составило p p = =1/120. Найдите работу, совершенную газом, если относительные изменения его температуры и объема оказались также малыми. По условию, изменение объема газа мало, поэтому для адиабатического процесса элементарная работа равна

батическом процессе 31 возвращается в исходное состояние (рис.4). Какую работу совершил газ в замкнутом цикле, если разность максимальной и минимальной температур в нем составила T ? Максимальная и минимальная температуры газа в цикле достигаются в адиабатическом процессе, так что T = T1 T3 . В адиабатическом процессе тепло к газу не подводится и не отводится от него, поэтому работа в цикле равна разности подведенного количества теплоты Q12 и отведенного Q23 . В изотермическом процессе подведенное количество теплоты равно совершенной газом работе:

?

D

?

D

На участке сжатия 23 теплоемкость не остается постоянной, однако внутренняя энергия газа не изменяется ( T2 = T3 ). Поэтому итоговое отведенное на этом участке количество теплоты численно равно работе сжатия: 2 V2 V3 - 1 Q23 = RT2 2 V2 V3

@

E

Q12 = A12 ,
в изобарическом процессе отведенное количество теплоты составляет
Q23 = CV + R T2 - T3 = CV + R T .

(см., например, задачу 2). Чтобы упростить дальнейшие выкладки, подставим отношение объемов V2 V3 = 3:

Q23 =

4 3

RT2 .

A = pV = - CV T .
Изменения давления p , объема V и температуры T связаны уравнением состояния

?

D@

E?

D

Итак, работа в цикле равна

На участке изохорического нагрева 31 к газу подводится количество теплоты

>

p + p V + V = R T + T .

C>

C>

C

Пренебрегая произведением малых величин pV , находим

pV + Vp = RT .
Исключим из последнего Vp с помощью уравнения pV p = RT V p = p равенства состояния: p
p

и воспользуемся выражением для работы:
A. CV p Окончательно получаем p CV = 12,5 Дж. RT A= CV + R p CV A + RT p = R CV T = - R

5 R T . 2 Этот же результат можно получить, подсчитав алгебраическую сумму работ газа на всех трех участках цикла (в чем читатель может убедиться самостоятельно). Задача 6. Моль гелия из начального состояния 1 с температурой Т1 = =100 К, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в равновесное состояние 2. Этот процесс происходит без подвода либо отвода тепла. Затем газ сжимают в процессе 23 линейной зависимости давления от объема и, наконец, по изохоре 31 возвращают в исходное состояние
A = A12 - CV + R T = A12
F

?

D

Q31 = CV T1 - T3 = CV T1 - T2 .
По условию,
Q = Q31 - Q23 =

@

E

?

D

3 2

R T1 - T2 -

?

D

4 3

RT2 ,

откуда находим

RT2 =

9 17

RT1 -

6 17

Q.

Окончательно для работы расширения через турбину имеем 3 A12 = R T1 - T2 = 2 12 9 RT1 + Q 625 Дж. = 17 17

?

D

(Читатель, знакомый с уравнением адиабаты для идеального газа, результат может получить с помощью этого уравнения и уравнения состояния.) Задача 5. Один моль одноатомного газа расширяется в изотермическом процессе 12, совершая работу A12 . Затем газ охлаждается в изобарическом процессе 23 и, наконец, в адиа-

!

Задача 7. Найдите КПД цикла 1 231, проведенного с одним молем одноатомного газа и состоящего из участка линейной зависимости давления от объема (прямая 12 проходит через начало координат диаграммы pV), изохоры 23 и изобары 31 (рис.6). Известно, что p2 = = 2 p1 = 2 p0 , V3 = V2 = 2V1 = 2V0 . Тепло подводится на участке 12, где теплоемкость постоянна и равна 2R (см., например, задачу 1):
Q1 = Q12 = 2 R T2 - T1 = 6 p0V0 .

Рис. 5

8

?

D


52
F F

КВАНT 2000/?3

Тепло в цикле подводится на изотерме: Q1 = Q12 = A12 , а отводится на изохоре:

F



!

Q2 = Q23 = CV T2 - T3 = CV T .
КПД цикла равен Q - Q2 C T = 1 =1- V , Q1 A12 откуда 3 2 RT A12 = . 1- Заметим, что это один из немногих примеров, когда КПД равен отношению работы в цикле (полезной работы, равной площади фигуры внутри кривых, образующих цикл) к работе на изотерме (затраченной работе, равной площади под кривой изотермического процесса). Читателю предоставляется самостоятельно понять, почему при неправильном определении КПД получается правильный результат, а также придумать хотя бы еще один цикл, обладающий таким же свойством. Задача 9. КПД цикла 1231 (рис.8), где 12 изохора, 23 изобара и 31 участок линейной зависимости давления от объема (на диаграмме pV это прямая с произвольным положительным наклоном), равен 1 . Найдите КПД цикла 13 41, в котором 34 изохора, 41
F " !

@

E

Рис. 6

8

8

8

Тепло отводится на изохоре 23:
Q23 = CV T2 - T3 = 3 p0V0

>

C

и на изобаре 31:

Q31 = CV + R T3 - T1 =

?

D@

E

5 2

p0V0 .

Упражнения 1. Моль гелия расширяется в процессе p2V = const так, что изменение его температуры равно T = 0,3 К. Какую работу совершил газ, если известно, что относительные изменения его давления p p , объема V V и температуры T T оказались малыми. 2. Моль гелия совершает работу А в замкнутом цикле, состоящем из изобары 12, изохоры 23 и адиабаты 31 (рис.9). Сколько тепла было подведено к газу в изобарическом процессе, если

где Q1 количество теплоты, подведенное на изохоре 12 и на изобаре 23. Аналогично, для второго цикла тепло подводится на участке 13 в количестве Q2 , поэтому 1 A 2 = = Q2 1 - 1 .

Суммарное отведенное тепло равно

F

Q2 = Q23 + Q31 =

11 2 1 2

p0V0 ,

работа в цикле составляет

A = Q1 - Q2 =

p0V0

!
Рис. 9

(этот результат очевиден, так как работа в цикле это площадь прямоугольного треугольника 1 2 3 с катетами p0 и V0 ), а КПД цикла равен
= Q1 - Q2 Q1 = A Q1 = 1 12

8

.

Отметим, что при решении этой задачи (и других подобных) абитуриенты часто приводят 'очевидный' ответ = 1/3. Трактуется это как отношение 'полезной' работы в цикле А = = p0V0 2 к 'затраченной' на участке 12 работе A12 = 3 2 p0V0 . При таком 'решении', очевидно, неверно подсчитано подведенное в цикле тепло Q1 . Задача 8. В замкнутом цикле, состоящем из изотермы 12, изохоры 23 и адиабаты 31 (рис.7), КПД равен , а разность максимальной и минимальной температур равна T . Найдите работу расширения в изотермическом процессе, если рабочее тело моль гелия.
F

Рис. 8

8

разность максимальной и минимальной температур газа в цикле составила T ? 3. Моль гелия из начального состояния 1 с температурой T1 = 100 К, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в состояние 2. Этот переход происходит без подвода или отвода тепла. Затем газ сжимают в двух процессах, возвращая его в исходное состояние. Сначала сжатие происходит в процессе 23 с линейной зависимостью давления от объема, а затем в адиабатическом процессе 31 (рис.10). Найдите работу, совершенную газом при расширении через

!
Рис. 7

8

изобара. Рабочее тело в обоих случаях моль гелия. В цикле 1231 тепло Q2 отводится на участке 31. Хотя теплоемкость в этом процессе и не остается постоянной, но можно показать, что она не меняет знака. С другой стороны, температура в этом процессе является монотонной функцией объема. Поэтому для цикла 1231 тепло на участке 31 только отводится, а, соответственно, для цикла 1341 только подводится. Работа в рассматриваемых циклах одна и та же. Обозначив ее через А, для первого цикла имеем A A 1 = = , Q1 A + Q2

F



!

Рис. 10

8

турбину в переходе 12, если в процессе сжатия 231 над газом была совершена работа А = 1090 Дж. Известно, что T2 = T3 , V2 V3 = 2. 4. В цикле 1341 (см. рис.8) КПД равен . Чему равен КПД цикла 12341?