Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/04/23.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:28 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:05 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

23

влажность = 50% . Найдите скорость u. Удельная теплота парообразования воды L = 2,2 Мдж/кг, удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж кг К , давление насыщенных паров воды при нормальных условиях р = = 600 Па, удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме cV = 720 Дж кг К , средняя молярная масса воздуха = 0029 кг моль . , С.Варламов

>

C

>

C

1791. Одно колено гладкой изогнутой трубки с круглым внутренним сечением площадью S вертикально, а другое наклонено к горизонту под углом (рис.2). В трубку налили жидкость плотностью и массой М k так, что ее уровень в наклонg ном колене выше, чем в вер тикальном, которое закрыто легким поршнем, соединенным с вертикальной пружиной жесткостью k. Найдите период малых колебаний S этой системы. Ускорение свободного падения равно g. .2 М.Семенов 1792. Ацетон и бензол смешиваются друг с другом в любых пропорциях, образуя прозрачный раствор. Объем смеси равен суммарному объему компонентов до смешивания. Коэффициент преломления света в смеси n зависит от концентраций молекул ацетона Na и бензола Nб следующим образом: n 2 = 1 + Ka Na + Kб Nб , где Ka и Kб некоторые константы (поляризуемости молекул ацетона и бензола). В колбе находится V = 200 мл смеси ацетона и бензола при температуре t1 = 50 oC . Палочка из стекла, опущенная в колбу, освещается светом с длиной волны = 546 нм и не видна в этом растворе при данной температуре. Сколько миллилитров и какой жидкости ацетона или бензола нужно долить в колбу после ее охлаждения до температуры t2 = 20 oC , чтобы после размешивания раствора стеклянная палочка не была видна при том же освещении? Коэффициенты преломления света с данной длиной волны у этих жидкостей при температуре t2 равны na = 136 и nб = 150 соответствен, , но, а у стекла nс = 147 . Коэффициенты объемного , расширения обеих жидкостей в диапазоне температур от t2 до t1 одинаковы и равны = 0,00124 1 К . Тепловым расширением стекла и испарением жидкостей пренебречь. С.Варламов

окрасим его в первый цвет, а иначе во второй; получим, что минимальные числа двух цветов попарно не делят друг друга. Рассмотрим следующее число: оно делится хотя бы на одно из двух минимальных. Если ровно на одно, то, покрасив его в тот же цвет, получим предыдущую ситуацию. Если же следующее число делится на оба минимальных, то временно окрасим его в третий цвет. Если следующее число делится на минимальное число третьего цвета, то и его красим в третий цвет, и так далее, пока не встретится число, не делящееся на минимальное число третьего цвета. Рассмотрим это число и два минимальных числа первых двух цветов: новое число делится на одно из них, тогда покрасим новое число в этот цвет, а все числа третьего цвета в другой цвет и опять получим ситуацию, когда два минимальных числа разного цвета не делят друг друга. Повторяя этот алгоритм, мы получим раскраску, требуемую в задаче. Примечание. Данный факт является частным случаем теоремы Дилворта о частично упорядоченных множествах, которую в связи с этой задачей можно сформулировать так: Дано несколько различных натуральных чисел. Известно, что среди любых n из них можно выбрать два так, чтобы одно делилось на другое. Тогда все числа можно покрасить в n 1 цвет так, чтобы для любых двух чисел одинакового цвета одно делилось на другое. Е.Черепанов

1757*. Выпуклый многоугольник можно разрезать на

20 параллелограммов. Докажите, что этот многоугольник можно разрезать на 15 параллелограммов.

1756--1765, 1773--1777
1756. Даны несколько различных натуральных чисел. Известно, что среди любых трех из них можно выбрать два так, чтобы одно делилось на другое. Докажите, что все числа можно покрасить в два цвета так, чтобы для любых двух чисел одинакового цвета одно делилось на другое. Построим алгоритм раскраски наших чисел в два цвета. Расположим числа по убыванию. Возьмем наименьшее и окрасим его в первый цвет. Рассмотрим следующее число. Если оно делится на минимальное число первого цвета, то
6*

Решение задачи опирается на два вспомогательных утверждения. Первое из них представляет собой лемму Минковского. Лемма 1. Если выпуклый многоугольник можно разрезать на параллелограммы, то этот многоугольник обладает центром симметрии. Для доказательства этого утверждения достаточно убедиться в том, что для каждой стороны многоугольника найдется равная и параллельная ей сторона. Сначала разрежем параллелограммы разбиения на более мелкие параллелограммы так, чтобы новое измельченное разбиение многоугольника удовлетворяло следующему требованию: любые его два параллелограмма либо не имеют общих точек, либо имеют общую вершину, либо имеют общую сторону целиком. Пусть нижняя сторона АВ исходного многоугольника М горизонтальна (рис.1). Будем строить из параллелограммов нового разбиения 'дорожки', начинающиеся от стороны АВ так, чтобы каждый следующий параллелограмм примыкал к предыдуще, + му по горизонтальной его стороне. Ясно, что последний параллелограмм каждой дорожки будет примыкать к верхней горизонтальной стороне CD многоугольника М. Одним словом, сторона CD будет параллельна стороне АВ и будет иметь ту же длину. ) * Теперь сформулируем и .1