Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/17.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:07 2012 Кодировка: Windows-1251

АЧ ЧИ К З А ДЗА Д АН Н ИК

'КВАНТА'

'КВАНТА'

17


. , , . . , . , . 1 2002 : 117296 , , 64 , ''. ( ) . '' : ' '' 5 - 2001' , , '1786' '1793'. '... ' . ( ). , , ( : ' '', ' ' '', '). , . 1786 XXVII , 1792-1794 - . 1793, 1797 1801 , 1795 1798 - XXXV .

1786-1795, 1793-1802
1786. На плоскости отмечено шесть точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, причем все попарные расстояния между ними различны. Докажите, что среди треугольников с вершинами в этих точках найдутся два треугольника с общей стороной такой, что для одного эта сторона является наибольшей, а для другого наименьшей. С.Рукшин 1787*. Пусть р и q натуральные числа, большие 1.
Известно, что q - 1 делится на р, а р 1 делится на q. Докажите, что p = q 3 2 + 1 или p = q 2 + q + 1 . Н.Осипов
3

наборе найдутся две гирьки, общая масса которых равна 101 г. б) Из двухсот гирек с массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., 200 г выделяется набор в 100 гирек, общая масса которых равна массе оставшихся. При этом никакие две гирьки набора не различаются на 100 г и не дают вместе 201 г. Докажите, что 50 минимальных гирек набора составляют вместе 2525 г. В.Произволов ние треугольники, у каждого из которых одна сторона желтая, другая красная, а третья синяя. Можно прикладывать треугольники друг к другу одноцветными сторонами или участками одноцветных сторон. Таким образом составлен большой равносторонний треугольник . Докажите, что суммарная длина участков границы треугольника каждого из трех цветов одна и та же. С.Волченков

1790. Имеются в некотором количестве равносторон-

1788. В треугольнике АВС точка I центр вписанной окружности, A , B , C точки ее касания со сторонами ВС, СА, АВ (рис.1). N Прямые AA и BB пересекаются в точке Р, АС и A C в точке М, ВС и B C в точке N. Докажите, B что прямые IP и MN перпендикулярны. А.Заславский IP 1789. а) Из ста гиM рек с массами 1 г, 2 г, A C 3 г, ..., 100 г выбира.1 ется набор в 50 гирек, общая масса которых равна общей массе оставшихся. При этом никакие две гирьки набора не различаются на 50 г. Докажите, что в
5 Квант ? 5

1791. а) На плоскости расположены 5 окружностей,

любые четыре из которых имеют общую касательную. Обязательно ли все 5 окружностей имеют общую касательную? б) На плоскости расположены n окружностей, любые 5 из которых имеют общую касательную. Докажите, что все n окружностей имеют общую касательную. В.Произволов человек найдется отличный от них человек, знакомый с каждым из них. Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех. С.Берлов

1792. В компании из 2n + 1 человек для любых n