Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:34 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:25 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

Заметим, что функция f x возрастающая, и докажем, что уравнение (5) равносильно уравнению f x = x.

bg

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

45
существует) меньше правой. Ответ: 1. И наконец. еще один пример, в решении которого мы воспользуемся свойством суммы двух взаимно обрат1 ных положительных чисел: a + 2 , a причем равенство достигается лишь при а = 1. Пример 16. Решите уравнение 2x - 1 x - x +1
2

bg

(6)

(5), причем f x fx >

Ддя этого заметим, что всякий корень уравнения (6) есть корень уравнения (5). Пусть x 0 корень уравнения

Решение. В области определения данного уравнения должны одновременно выполняться неравенства 2 4 - x 0 и x 2 , что возможно только при x = 2. Проверкой убеждаемся, что это корень. Ответ: 2.
Упражнение 6. Решите уравнения а) б) = 4.
x 2 - 3x + 2 + 2 4 - x 2 + 1 = x -1;
2 2

< x 0 , но в этом случае x 0 = f

c h> f cx h
0 0

x 0 , но при этом f f ( x0 ) = x 0 > , противоречие; либо f x

ch
0

x

0

c

. Тогда либо

< f x0 , т.е. x 0 < f x 0 , что также невозможно. Утверждение доказано. Чтобы завершить решение, достаточно решить уравнение x = 1 + x . 1+ 5 . Ответ: 2
Упражнение 5. Решите уравнения а)
15x + 4 + x + 1 = 9 ;

ch

ch

ch e f c x hj
0 0

h

< <

2-

x+

x - x - 2 + 3x + 4 =

+

x - x +1 2x - 1
2

2

=

4x - x . > 0.

2

Здесь мы тоже разберем достаточно характерные примеры. Пример 15. Решите уравнение 3 - x + x + 5 - x2 = 5 + 2 x . Решение. Перепишем уравнение: 3-x + Пусть t =
2

Решение. Пусть t =

2x - 1 x - x +1

1 Левая часть уравнения, равная t + , t больше или равно 2:

x + 5 = x + 2x + 5 .
x + 5 . Тогда
2

2

1 2, t а правая часть не больше 2: t+
4x - x =
2

б) x в)

FH

x + 3x + 5 + x = 5 - x ;
2 2 2

IK

3-x +

4- x-2

b

g

2

2.

x + 2x + 6 +
2

x + 3 = 6 - x;

t = 8 + 2 15 - 2 x - x . Наибольшее значение подкоренного выражения достигается при x = -1 (в вершине параболы y = 15 - 2x - x2 ). 2 При этом t = 16 . Отсюда следует, что t 4 . Наименьшее значение правой части исходного уравнения достигается также при x = -1 и тоже равно 4. При x -1 левая часть (когда она

г) x - 3 3 x + 1 = 1.

Поэтому равенство возможно только при x = 2. Проверкой убеждаемся, что x = 2 корень. Ответ: 2.
Упражнение 7. Решите уравнения а) 3x 2 + 6 x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = = 4 - 2x - x 2 ; б)
x - 1 + 3 - x = x - 4x + 6 .
2

На следующем примере мы рассмотрим еще один класс задач. Пример 14. Решите уравнение 4 - x2 + x - 2 = x + 7 - 4x + 1 .


.



задачи, в которых проявляются либо корпускулярные, либо волновые свойства света. Действительно, в таких оптических явлениях, как излучение или поглощение света веществом, фотоэлектрический эффект или эффект Комптона, проявляются корпускулярные свойства света. В этих случаях свет ведет себя как поток световых частиц фотонов, обладающих

ЭТОЙ СТАТЬЕ МЫ РАССМОТРИМ

энергией Е и импульсом p = E/c (где с скорость света). А вот такие оптические явления, как интерференция или дифракция, явно свидетельствуют в пользу волновых представлений, когда свет ведет себя как электромагнитная волна с частотой и длиной волны = c . Отметим, что известные соотношения E = h и p = h c (где h постоянная Планка) как раз и связывают волновые и корпускуляр-

ные свойства света: правые части равенств содержат типичную для волновых представлений величину , а левые характерные для потока частиц величины Е и р. А теперь несколько конкретных задач. Задача 1. Рубиновый лазер, работающий в импульсном режиме с дли-4 тельностью импульса = 5 10 с, излучает параллельный пучок света с энергией Е = 1 Дж. Определите силу светового давления на шарик, освещаемый этим светом, если диаметр шарика равен (или больше) диаметру лазерного пучка, а поверхность шарика полностью поглощает падающее на нее излучение. До поглощения лазерного излучения импульс шарика был равен нулю: p1 = 0 . После поглощения фотонов за время шарик приобрел импульс p2 = E c . Сила F, которая подействовала на шарик со стороны фотонов, равна F= p p2 - p1 E , = = = 67 10 c
-6

H.