Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/01/15.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:11 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:58 2012 Кодировка: Windows-1251

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

15
реплен, однородный цилиндр, помещенный внутрь ромба, находится в равновесии, верхние два стержня составляют при этом угол 2 . Найдите по этим данным диаметр цилиндра. А.Зильберман
.

М1763*. Пусть AH1 , BH2 , CH3 высоты остроугольного треугольника АВС. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон ВС, СА, АВ в точках T1 , T2 , T3 соответственно. Прямые l1 , l2 , l3 являются образами прямых H2 H3 , H3 H1 , H1 H2 при симметрии относительно прямых TT3 , T3T1 , TT2 соответственно. 2 1 Докажите, что прямые l1 , l2 , l 3 образуют треугольник с вершинами на окружности, вписанной в треугольник АВС. Т.Емельянова М1764. Пусть функция f : 0; 1 4 удовлетворяет следующим условиям: f 0 = 0, f 1 > 0, f монотонно возрастает на 0; 1 и для любых x1 , x2 0; 1 , для которых x1 + x2 0; 1 , выполняется неравенство

2

bg

bg

Рис.2

Рис.3

f x1 + f x2 f x1 + x2 .
Докажите, что тогда последовательность чисел

ch ch c

h

sn = f 1 + f

не ограничена.

bg FGH 1 IJK + f FGH 1 IJK 2 3

+K+ f

FG 1 IJ H nK

, n = 1, 2, 3, , В.Попов

соединены двумя невесомыми и абсолютно твердыми стержнями (рис.3). К середине одного из стержней пер пендикулярно ему приложена сила F . С какими силами действуют стержни на кубик в местах прикрепления шарниров 1 и 2? Тот же вопрос для случая, когда стержни имеют такую же массу, как и кубики. С.Варламов

Ф1767. Два одинаковых кубика с помощью шарниров

М1765. Длина ребра правильного тетраэдра равна 1.

Ф1768. Длинный стержень с площадью поперечного
сечения S = 1 мм сделан из материала с модулем Юнга Е = 2 1011 Н м2 . На один из торцов начинает действовать вдоль стержня сила F = 1 Н, равномерно распределенная по площади торца. Найдите смещение этого торца за время t = 0,1 с (считайте, что упругая волна за это время не достигла другого конца стержня). Скорость звука в стержне vзв = 5000 м/с. А.Стержнев
2

а) На ребрах тетраэдра отмечены 5 точек. б) На поверхности тетраэдра отмечены 9 точек. в*) В тетраэдре отмечены 9 точек. Докажите, что в каждом случае найдутся две отмеченные точки, расстояние между которыми не превосходит 0,5. В.Произволов

Ф1763. При компьютерном моделировании создан мир, в котором скорость звука c1 = 3 м/с, а скорость света c2 = 8 м/с. Маленький автомобиль едет со скоростью v0 = 5 м/с вдоль прямой, наблюдатель находится на расстоянии L = 20 м от этой прямой. В каком месте он видит автомобиль в тот момент, когда звук мотора слышен из ближайшей к наблюдателю точки прямой? (Считайте, что наблюдатель способен верно определить направление на источник приходящего звука.) З.Рафаилов Ф1764. Найдите ускорение тележки, на которой находятся два груза (рис.1). Стол гладкий, коэффициент трения между тележкой и грузами ч . F Р.Александров 2m m Ф1765. Пучок протоM нов направляется в камеру Вильсона. На одной из фотографий Рис.1 (цепочек капелек пара) зафиксирована картинка, на которой три отрезка прямых выходят из одной точки, отрезки составляют между собой углы 90њ, 120њ и 150њ. Картинка соответствует акту упругого столкновения протона с одним из неподвижных ядер. Установите по фотографии, что это может быть за ядро. С.Варламов Ф1766. Из четырех одинаковых гладких легких стержней длиной L каждый, скрепленных концами шарнирно, сделан ромб (рис.2). Один из шарниров (верхний) зак4*

Ф1769. В сосуде находится воздух и некоторое количество воды при температуре +100 њС. Объем сосуда медленно увеличивают при неизменной температуре и измеряют давление внутри с точностью примерно 0,5%. Результаты измерений приведены в таблице:
объем, см
3

20 140

25 132

30

35

40 95

45 84,5

давление, кПа

126,5 108,5

Какое количество воды сконденсируется, если, не изменяя окончательного объема сосуда, понизить температуру до +20 њС? А.Паров

Ф1770. Собрана схема, состоящая из идеальной бата-

рейки напряжением 3,3 В, двух одинаковых амперметров, двух одинаковых вольтметров и 'черного ящика' с четырьмя выводами (рис.4). Показания амперметров 10 мА и 12 мА, по10 мA 12 мA казания вольтметров A A 3,6 В и 3 В. Нарисуйте возможную схему, находящуюся ? V 3,6 B V 3B внутри 'черного 3,3 B ящика' (постарайтесь придумать попроще!). Рис.4 Р.Простов