Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/02/61.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:20 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:47 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 5

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

61
2 cos 2

M A K B

5. MA = MB =

. Ука3 зание. Точки А, В, М и N лежат на сфере, описанной около пирамиды

1

треугольника DKM (рис.14,б), что DK =

sin ку ND sin = 6 , а ND = NK + KD = 10 + KD, то 6 = 10 sin + 2 cos 2 , откуда 1 sin = . 2

. Посколь-

ABCN , а также на единичной сфере с центром в точке С. Таким образом, r эти четыре точки лежат на пересечении этих сфер, т.е. на окружности, описанной около равностоN роннего треугольника Рис. 13 ABN; в частности, точка М лежит в плоскости грани ABN. Пусть K середина стороны АВ (рис.13). Тогда

Вариант 3
1. 1 - 2 ; 1 + 2 . Указание. Сделав замены x =
y = 2 sin t , получим уравнение cos 2t + sin 2t = имеет решения при a - 1 2 . 2. 7/4. 22 1 cS 3 3. -1; - . 4. 4 7 - ;0 7 ; 2 2S - c 4 4 22 Пусть 2а и 2b длины сторон прямоугольника, ние от центра О окружности до диагонали АС. площади треугольников АВО, ВОС и АОС, получим, что 2 cos t и a - 1 , которое

LM N

IF JK GH
2

I LM JK N
2

I JK

2

.

d расстояСуммируя

MK =
откуда
2

1 2

r=
2

1 3

h=
1 4 +

1 23
1 12 =

,
1 3

+ d a + b + ab + a = 2ab

2

MA = MB =

.

Вариант 2
1. 39. Пусть a1 первый член последовательности, d ее разность. Из соотношений a + a17 x = a1 + 6 d и 1 17 = 51 2 получаем, что х + 2d = 3. Пусть -6 x = a n . Тогда 3-x - 7x 7 21 x - 1 2 = n= . 3-x x-3

b

g

2 Поскольку при x < 20 верны неравенства

21 >

21 x - 1 x-3
2 3

b

g

>

21 21 23

(знак 'минус' соответствует случаю, когда точка О лежит вне треугольника АВС). Поэтому 2 a - ab , d= 2 2 a +b следовательно, 3 8a b 2 2 2 c = 4 a -d = 2 . 2 Рис. 15 a +b S , так что В данном случае a = r, b = 4r 22 Sc 2 2 = 2S - c r . 2 16 r 5. См. рис.15.

2 2 2

e

j

e

j

> 19 ,

а число n натуральное, то n = 20 и х = 39. 2. 2 k -
- 18 - 5 6 2 3

Санкт-Петербургский государственный технический университет
МАТЕМАТИКА Вариант 1
1. 0,3. 2. 1. 3. 2. 4. 1. 5. 5. 6. 0. 7. 1 + 5 2 . 8. 6 - 2 . 9. 2. 10. 1 7 2 + k , k Z . 11. 0,1. 12. -; - 1 7 1 . 13. -; - 4 7 3; 4 . 14. +0,5 . 15. 2; 1 , 3 2 ; 0,5 . 16. -2; - 1 . 17. -1; 0 , 0; 1 . 18. 16. 19. 5 3 . 20. a 1; - 9 .

и

k + 6

5 18

при k = 1, 2, ;

k и

- 2 k при k = 0, 1,

3.

F GH

4

5 10

;

9

5. CM = 5 3 и DM = 2 3 . Указание. Отрезки ВМ и DN параллельны. Проведем отрезок MK ||AB (рис.14,а). Пусть = MDN = ADN . Тогда DMK = - 2 , 2 DKM = + . Четырехугольник BMKN параллелог2 рамм, так что MK = BN = 2. По теореме синусов находим из

OP 7 b1; Q

2.

4. 3.

b b

lq l
g

l

q

b

g

q

e

gb g

b ge

j b

j

lq

Знакомьтесь: факультет наук о материалах
МАТЕМАТИКА
n + -1 + n , n Z . 1. 0; 1 . 2. 4 3 5. 2. 3. -2; - 1 7 2; 3 . 4. 3; 1 9 .

a) B N

C

б)

M 2 2

6. Утверждение неверно. 9. -6; - 5; - 4 .

lq b

bg g b

2 M K D K 2 +

l

q

7. 6 км/ч.

g

10. х = 1 и у = 325 1 - x . ,

b

8. 115 км/ч.

g

1. t = v 0 sin + tg cos g , 0; .

b

A
Рис. 14

D

2. Pэкв Pп

ол

= 1 - 4 R

2

3

3. A = 0,5V0 p2 - p1 2 p0 - p1 - p2

@

E@

g eG

ФИЗИКА
MT
2

j

.

p E@

0

- p1 .

E