Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/03/19.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:22 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:32 2012 Кодировка: Windows-1251

ИЗ

ИСТОРИИ

НАУКИ

19
16 В В В В В

В арианты Партии 1 2 3 4 выигрыш ставки

1 A A A A A

2 A A A В A

3 A A В A A

4 A В A A A

5 В A A A A

6 A A В В A

7 A В A В A

8 В A A В A

9 A В В A A

10 В A В A A

11 В В А A A

12 В В В А В

13 В В А В В

14 В А В В В

15 А В В В В

чисел в течение последующих столетий. В 1657 г. для привлечения внимания к теории чисел Ферма отправил английским математикам вызов: найти бесконечную последовательность натуральных решений уравнения
ax + 1 = y
2 2

()

придворных Людовика XIV, страстный игрок в кости. Поэтому задачу часто называют задачей де Мере, хотя она не была новой ее решал еще итальянский математик Л.Пачоли в XV в. Все ученые, которые занимались этой задачей раньше, делили ставку пропорционально выигранным партиям, т.е. считали, что течение игры определилось ее началом и дальнейший ход не изменит сложившейся картины. Паскаль использовал совершенно иной подход. Он исходил из числа партий, оставшихся каждому игроку до полного выигрыша, считая выигрыш в каждой партии любого игрока равновозможным. Похоже, никто из ближайшего окружения не смог по достоинству оценить его решение, и тогда Паскаль послал (1654) его на суд Ферма: '...Я хочу поделиться с Вами своими рассуждениями, и Вы мне окажите милость: скажите мне, если я ошибаюсь, или согласитесь со мною, если я прав. Я Вас об этом прошу откровенно и искренне, так как я чувствую себя уверенно, только когда Вы на моей стороне'. Ферма заинтересовался задачей и в ответном письме предложил свое решение, рассмотрев случай, когда до выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В трех партий. Ясно, что будет сыграно не более четырех партий. Ферма составил таблицу всех возможных вариантов исходов этих партий. Приведем ее, обозначив буквой А в таблице выигрыш игрока А, а буквой В выигрыш игрока В. Лишь в вариантах 911 и 1315 будут сыграны все 4 партии, в остальных игра закончится раньше. Но Ферма подчеркивал, и Паскаль разделял его точку зрения, что и такие варианты надо просчитывать до конца. Из таблицы видно, что ставка должна делиться в отношении 11:5.
5*

Методом Ферма можно решить задачу для любого числа оставшихся партий и даже при условии, что в игре участвуют более двух игроков. Получив решение Ферма, Паскаль в следующем письме отвечает: 'Я восхищен Вашим методом для партий, тем более что я хорошо понимаю, что он полностью Ваш, ничего общего не имеет с моим и легко приводит к тому же результату'. В возникшей переписке был обсужден ряд вопросов, связанных со случайными событиями. Фактически в ней и зародилась теория вероятностей, появились первые ее понятия. Правда, в письмах не было слова 'вероятность', а речь шла лишь о числе благоприятных исходов или, в крайнем случае, о его отношении к числу всех исходов, но ведь дело не в названии! Кроме того, Ферма и Паскаль своей перепиской привлекли внимание ученых к этой новой области математики. Достаточно сказать, что молодой нидерландский ученый Х.Гюйгенс, приехавший в Париж в 1655 г. и узнавший о переписке, заинтересовался проблемой и уже через два года опубликовал работу 'О расчете в азартных играх' по существу первое исследование по теории вероятностей. К теории чисел Ферма питал особую любовь. Увлекшись задачами диофантовой 'Арифметики', он обобщал их и ставил новые. Получая тот или иной результат, он посылал своим корреспондентам соответствующие задачи. В это время были приняты такие заочные математические состязания. Каждый ученый, получивший задачу, стремился решить ее побыстрее и наиболее изящным способом. Задачи Ферма, часто не поддававшиеся усилиям современников, в основном определили главные пути развития теории

при а = 109, 149, 433. У этого уравнения интересная история, начало которой теряется в глубине веков. Похоже, его умел решать еще Архимед ведь он предложил Эратосфену 'задачу о быках Солнца', которая сводится к такому уравнению при чудовищно большом значении а. Интерес к уравнению ( ) объясняется тем, что любое уравнение второй степени с двумя неизвестными и рациональными коэффициентами рациональной заменой переменных сводится к уравнению 2 2 ax + b = y с целыми коэффициентами. Оказывается, если оно имеет хотя бы одно натуральное решение, то их у него бесконечное множество, и все они получаются из решений уравнения (). Английские математики справились с задачей, правда, не доказав, что их метод всегда приводит к успеху. Каково было решение самого Ферма, мы не знаем. Только в следующем веке Л.Эйлер показал, что если x0 , y0 наименьшее решение уравнения (), то все его остальные решения xn , yn имеют вид

c

h

c

h

xn =

1 2a

Fe H

y0 + x

0

a

j

n +1

- a

yn =

1 2

Fe H

- y0 - x y0 + x
0

e

0

a

j

j IK
n +1

,

n +1

+
0

+ y0 - x

e

a

а французский математик Ж.Лагранж доказал (1769) существование наименьшего решения, а значит, и бесконечного множества решений. Известно, что любое натуральное число единственным образом представимо в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа служат как бы кирпичиками, из которых составляются натуральные, поэтому интерес к простым числам в математическом мире всегда был велик. С давних пор ученые пытались найти формулу, дающую все про-

j IK
n +1

,