Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/03/47.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:24 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:51 2012 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ К МАТЕМАТИЧЕСКИЙ Р У Ж О К КРУЖОК

47


.
, . в которых фигурирует некий произвольный треугольник (возможны варианты: произвольный остроугольный, произвольный тупоугольный, произвольный равнобедренный, произвольный прямоугольный и т.п.). Чертеж к условию чаще всего не прилагается. И тогда перед вдумчивым школьником встает проблема: как нарисовать произвольный треугольник? (Не слишком вдумчивый не станет ломать голову нарисует что-нибудь и будет вполне доволен результатом: чего вы, дескать, хотели сказано 'произвольный', вот я и нарисовал произвольный; а что на чертеже ничего не разберешь досадная случайность!) Для лучшего осмысления вопроса начнем с довольно простого случая прямоугольного треугольника. Вряд ли у кого язык повернется назвать произвольным равнобедренный пря-



ЕРЕДКО ВСТРЕЧАЮТСЯ ЗАДАЧИ ,

Наверное, теперь стало немного яснее, чего мы хотим: треугольник должен быть не слишком 'экстремальным', а 'средним', 'типичным', удобным для работы. Как известно, у треугольника три стороны и три угла. Что касается сторон, то их длины ограничены размерами листа бумаги. И хотя полезно рисовать большие чертежи (попытка экономить бумагу приведет лишь к тому, что задачу с первого раза не решишь и придется сделать не один-два, а много чертежей), но форма треугольника определяется, несомненно, величинами углов. Что сие означает в случае прямоугольного треугольника? Давайте разбираться.

когда = 68њ и 90њ = 11њ, или = 28њ и = 62њ, когда эти разности равны 34њ и 28њ? Чтобы не запутаться в бесплодных спорах, давайте вместо двух величин и 90њ будем следить за одной за минимальной из них, т.е. o за величиной min - , 90 - . (А почему не за их произведением, не за суммой квадратов или не за суммой двадцатых степеней? Потерпите немного к концу статьи и сумму квадратов к делу приспособим. А вот до двадцатых степеней очередь н е дойдет.) Это значит, что мы будем искать такие и , для которых максимально велика в еличина o min - , 90 - . (При этом, не заo бывайте, 0 < и + = 90 њ.) o Поскольку = 90 - и - = o = 90 - 2 , то задачу можно переформулировать следующим образом: найти такое 0o; 45 , для которого ве-

e

j

e

j

личина min , 90 - 2 наибольшая возможная. Проще всего решить эту задачу графически: на рисунке 3 изображены графики функций y = x и y = 90 2x, а красным цветом график y = = min x, 90 - 2 x . Очевидно, макси-

d e

o

j

b

y

g

'

y = ' x
x


Обозначим величины острых углов прямоугольного треугольника буквами и . Разумеется, + = 90њ. Можно считать, что . Чтобы треугольник был как можно меньше похож на равнобедренный, потребуем, чтобы величины его углов как можно сильнее отличались друг от друга. Это означает, что должно как можно сильнее отличаться от , а от 90њ. Иначе говоря, мы хотим найти такие и , чтобы разности и 90њ были побольше. (Интересно, а мы ничего не забыли? Неравнобедренный это хорошо, а вдруг треугольник будет такой 'худой', как на рисунке 2? Может быть, нужно было еще попросить, чтобы угол не был слишком маленьким? Нет, = 90њ , так что ничего нового это условие не дало бы.) Но задача все еще не получила точной формулировки. Как можно одновременно следить за двумя величинами? Что лучше: = 11њ и = 79њ,

!

y

=


. 3

!

"# x

мум последней функции достигается в точке x = 30. Впрочем, можно было обойтись и o o без графиков. При 0 < 30 имеем
min , 90 - 2 30 ,

. 1

e

o

j

o

моугольный треугольник (рис. 1). Да и у треугольника, изображенного на рисунке 2, гипотенуза вследствие малости одного из катетов весьма близка к другому катету, так что треугольник ... тоже почти равнобедренный!

а при 30 < 45 имеем

o

o

min , 90 - 2 90 - 2 < 30 .
Следовательно, o o max min , 90 - 2 = 30 ,
0 < 45
o o

e

o

j

o

o

e

j

. 2

причем максимум достигается при o = 30 . Итак, самый произвольный прямоугольный треугольник это треуголь-