Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/03/43.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:24 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:27 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

рых изменение исследуемой величины пропорционально ее текущему значению, например для распада радиоактивных атомов, размножения микробов или роста народонаселения Земли по Мальтусу. Его решение имеет вид ln v
0

терное время

t ; r

Следовательно, a =

v

;

r m

2

п

b

y-0 =

g

y l

,

(2)

. 16 r t Приравняем это ускорение к предельному значению скатывающего ускорения g cos & . Отсюда найдем ; v ; rg cos & . Теперь, подставляя эту конечную скорость в выражение (2), для глубины проникновения получим выражение y&; m 2 r
2 п 2

v

F1 F GH 2 GH


v+

3v 2

5v

IJ I K JK
2

43
= 10 м, получим y&; 0,3 м . Учитывая множество принятых предположений, осторожный физик сказал бы, что это величина порядка дециметра. Качественный вид изменения скорости с глубиной приведен на рисунке 4,а сплошная кривая. Показана 'ступенька' при y& , характерная для сыпучих сред. А штриховая кривая изображает случай деревянного шарика того же радиуса, упавшего в воду с той же начальной скоростью v0 . Его торможение будет происходить быстрее (так как из выражения (1) следует, что dv dt ;
воды -2

.

где v0 начальное значение скорости m шарика (при у = 0), l = харак2 r п терная длина. Так, для стального шарика радиусом r = 1 см и массой m = 4 ст r
3

3 30 г

(где



ст

=

ln

v 2

2 0

rg cos &
ст п

2h r cos &

= 7,8 г см плотность стали) эта длина имеет порядок l 3 10 кг 10
-4 -2

3

=

10

3 3



3

r ln

. (3)

дерева

05 10 ,

=2>



п



1 5

ст

),

, м 16 10

2

3

кг м

3

6,5 см

(среднеобъемная плотность песков лежит в диапазоне 1,51,7 г см ; мы , приняли п = 16 г см ). Это уже определенный намек на глубину проникновения: на этом характерном расстоянии скорость убывает в е = 2,7 раза. Но при этом, согласно полученной формуле, шарик нигде не остановится просто он будет двигаться по мере углубления все медленнее и медленнее. (Конечно, это лишь оценка l по порядку величины: ведь в выражение для силы сопротивления нужно было бы внести еще безразмерный множитель, который называется коэффициентом сопротивления шарика при его движении в песке. Но кто его знает?) Однако вспомним, что, с другой стороны, песок не совсем жидкость, и этот факт как-то связан с наличием предельного угла & . Можно ожидать, что по достижении некоторого значения скорости v& шарик резко затормозится: в этот момент силы сцепления между песчинками начнут играть преобладающую роль по сравнению ... С чем? Возможно, ответ заключается в сравнении характерной величины касательной составляющей ускорения a песчинок на экваторе шарика с величиной ускорения, 'скатывающего' песчинки с поверхности песчаной горки. Сделаем оценки. Скорость песка на экваторе возрастает на v по сравнению с ее значением v = 2 в 'невозмущенном потоке'. Тогда 'среднее' приращение скорости будет 1v порядка v = . И происходит 22 это на 'характерном перемещении' порядка радиуса шарика r за харак3 3

Видно, что y& растет с увеличением предельного угла & . Это понятно: ведь чем больше & , тем более среда 'сыпучая', а в пределе & 2 она переходит в жидкость, и тогда стальной шарик может сколько угодно тонуть, например в воде. Но не в ртути ибо в этом случае нужно учесть и силу Архимеда, которую мы пока что не принимали во внимание (аналогичная ситуация возникнет, если в воду бросить деревянный шарик). Как уже было сказано, если песок потрясти, то его конус будет расплываться, песок все более будет похож на жидкость. В результате в 'потрясенном' песке глубина проникновения упавшего шарика должна быть больше. А деревянный шарик или шарик для пинг-понга в сотрясаемом песке будут 'всплывать' это можно проверить в порядке лабораторной работы. Далее, в выражении (3) мы приняли, что скорость падения шарика с высоты h равна v0 = 2 gh , т.е. пренебрегли сопротивлением воздуха это для того, чтобы поскорее ответить на вопрос, поставленный в самом начале. Конечно, этот результат можно уточнить, учитывая силу сопротивления воздуха. Очевидно, что при этом 2 v0 < 2 gh . Но полученная формула (3) содержит логарифмическую зависимость от начальной скорости; это настолько слабая зависимость, что физики в шутку называют эту функцию константой. Поэтому такое уточнение несущественно. Интересно отметить также, что выражение (3) не содержит зависимости от ускорения тяготения. Значит, на Луне глубина проникновения будет та же, что и на Земле: был бы песок одинаков. Итак, полагая в выражении (3) h = o = 100 м, cos & = cos 60 = 1 2 , r =

а при y A движение на мгновение прекратится, и шарик начнет всплывать

a) v v0

v* 0 `L б) t

y)

y*

y

0
. 4

y)

y*

y

(скорость изменит знак). Если глубина его проникновения достаточно велика, то на обратном пути вверх будет достигнута постоянная скорость всплывания v , при которой сравняются силы сопротивления, тяжести и Архимеда. На рисунке 4,б показан соответствующий вид зависимостей глубины от времени. Артиллеристы издавна живо интересовались глубиной проникновения в различные среды снарядов разной массы, формы, начальной скорости (в момент удара). В результате они получали эмпирические зависимости, осредненные по различным ситуациям. Эти формулы дают например, для интересующего нас песка меньшие значения глубины проникновения, чем полученные нами. И понятно, почему. Ведь мы не учли очень многое. А именно: дополнительные потери энер-