Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/03/51.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:24 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:24:52 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: полярное сияние

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

51

конечную цепную дробь, например
2 =1+ 2 -1=1+ 1 2 +1 1 2+ 1 2 +1 = =

дробями:

1+
1+

1 1 1

= 2,
1 2 1 = 1 1 = 1 1 2 19 11 7 4 = 5 3

=1+

1 2 + 2 -1

=1+

,

1+ 1+ 1+ 1 1+ 2+ 1

= 1+

1 2+ 2+ 1 1 2 +1 1

= ...

,
. 18

2+ 1+ 1

K=1+ 2+

1 2+ 2+ 2+ 1 1 1 2+ 1 K

.

1+

Можно доказать, что если 'оборвать' цепную дробь в том или ином месте, то получим наилучшее приближение соответствующего числа. (Наилучшее в некотором точном смысле, который я не буду здесь объяснять, надеясь, что это послужит поводом для серьезного знакомства с цепными дробями например, по книжке А.Я.Хинчина 'Цепные дроби'1 .) Начнем с наипроизвольнейшего прямоугольного треугольника. Его острые углы, помнится, 30њ и 60њ, поэтому отношение катетов равно
tg 60 =
o

3 =1+

3 -1= =1+ 1+ 1 1+ 2+ 1 1 3 -1 2 = 1 =

= 1+

e
1

1

3 +1 2

j

(дальше не выписываю, поскольку числитель и знаменатель получаются слишком большие для тетрадной страницы). Поэтому имеет смысл строить прямоугольный треугольник с катетами 19 и 11 клеток. Неплох и треугольник с катетами 7 и 4 (а также подобные ему 14 и 8 или 21 и 12), отличие углов от 30њ и 60њ всего лишь около 1њ. Лично мне из вышеперечисленных больше всего нравится треугольник с катетами 14 и 8 он не слишком велик, и его стороны легко поделить пополам (например, если потребуется провести медиану). Впрочем, это зависит от конкретной решаемой задачи. Следующий в таблице треугольник с углами 67,5њ, 67,5њ и 45њ. Поскольку o 2tg 22,5 o 1 = tg 45 = o, 2 1 - tg 22,5 то, решив квадратное уравнение
tg 22,5 + 2 tg 22,5 - 1 = 0 ,
2 o o

треугольник с высотой 12 клеток и основанием 2 5 = 10 клеток (рис. 18). При необходимости размеры можно увеличить вдвое. Следующий треугольник равнобедренный с углом при основании 54њ. Тангенс этого угла в явном виде выo числить сложнее, чем tg 60 . Но можно бесхитростно вычислить его на калькуляторе и затем разложить в цепную дробь: 1 o tg 54 = 1 + . 1 2+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 10 + K Обратите внимание эта цепная дробь как будто сама указывает, где ее лучше оборвать: 1 11 o tg 54 1 + = . 1 8 2+ 1 1+ 1 1+ 1 Соответствующий равнобедренный треугольник имеет высоту 11 клеток и

=1 +

1+

1 3 +1

=1+

= 1+ 1+ 2+ 1+

1

e

3 +1 2

j

находим

tg 22,5 = 2 - 1 ,
. так что
tg 67,5 = ctg 22,5 =
o o

o

1 1 1 2+ 1+ 1 1 2+ 1

= 2 + 1. 2 -1 Число 2 мы уже разложили в цепo ную дробь. Поэтому для числа tg 67,5 сразу выписываю подходящие дроби:

1

K 'Обрывая' эту дробь в разных местах, получаем все более точные приближения числа 3 обыкновенными
1 См. также статьи Д.Фукса, М.Фукса 'О наилучших приближениях' ('Квант' ?11 за 1971 г.) и Ю.Нестеренко, Е.Никишина 'Очерк о цепных дробях' ('Квант' ?5, 6 за 1983 г.). (Прим. ред.)

2+

1 2

=

5 2

, 2+
1

1 2+ 1 2 29
12

=

12 5

,

. 19

2+ 2+

1 2+ 1

=

,...

2 Последнее приближение едва умещается на тетрадной странице, а предпоследнее дает нам равнобедренный

основание 2 8 = 16 клеток (рис.19). Следующий треугольник равнобедренный с углом при основании 30њ. С ним нет проблем, ибо он состоит из двух уже 'обсчитанных' нами прямоугольных треугольников с углами 30њ и 60њ, сложенных меньшими катетами. В результате получается равнобедренный треугольник с высотой 4 клетки и основанием 2 7 = 14 клеток (рис.20).