Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/kv0402gotman.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:56 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:34:48 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 5

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

47
I K

Зависимость тока в катушке IL от времени T (рис.9) разбивается на три участка: 1 отрезок времени между замыканием и размыканием ключа, 2 участок колебательного процесса ( 0 ? t ? t1 ), 3 циркуляционный процесс ( t ? t1 ), при этом время T отсчитывается от момента замыкания ключа.
Упражнения 1. В случае несамостоятельного газового разряда зависимость тока I через газоразрядную трубку от напряжения U на трубке имеет вид, изображенный на рисунке 10. При некотором напряжении на трубке Uн ток через трубку достигает насыщения, I при этом ток насыщения раIн вен Iн = 10 мкА. Если трубка, последовательно соединенная с некоторым балластным резистором, подключена к источнику с ЭДС - = 2 Ч 10 3 B , то через трубку течет ток I0 = 5 мкА. Как надо изменить сопротивление балласт Uн U ного резистора, чтобы достичь Рис. 10 тока насыщения? 2. В одно из плеч моста (см. рис.2) включено нелинейное сопротивление Х, для которого зависимость силы тока IX от 2 приложенного напряжения UX задается формулой IX = aUX .

D

E R

C

U0
Рис. 11 Рис. 12

U

Сопротивления остальных плеч моста таковы: R1 = R3 = 2 Ом , R2 = 4 Ом . При каком значении константы а мощность, расходуемая в нелинейном сопротивлении, равна PX = 1 Вт для сбалансированного моста (ток через гальванометр Г равен нулю)? 3. В схеме, изображенной на рисунке 11, в начальный момент ключ K разомкнут, а конденсатор емкостью С = 100 мкФ не заряжен. Вольт-амперная характеристика диода D показана на рисунке 12. ЭДС батареи - = 6 B , пороговое напряжение диода U0 = 1 B , сопротивление резистора R = 1 кОм. Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа? Какой заряд протечет через диод после замыкания ключа? Какое количество теплоты выделится в резисторе после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.

Сфера, касающаяся ребер правильной пирамиды
Э.ГОТМАН

В

чаются задачи о сфере, описанной около правильной пирамиды, а также о сфере, вписанной в пирамиду (сфере, касающейся всех граней пирамиды), и гораздо реже задачи, в которых фигурирует сфера, касающаяся всех ребер пирамиды. Между тем, задачи такого рода предлагаются на вступительных экзаменах в некоторые высшие учебные заведения. Для их решения требуется хорошее пространственное воображение, умение выполнить правильный и наглядный чертеж, знание планиметрии и тригонометрии. Старшеклассникам полезно познакомиться с приемами решения таких задач. В предлагаемой статье рассматривается сфера, касающая-

УЧЕБНЫХ ПОСОБИЯХ ПО ГЕОМЕТРИИ ЧАСТО ВСТРЕ-

ся всех ребер правильной пирамиды. Всегда ли существует такая сфера? Прежде всего ответим на этот вопрос. Напомним некоторые сведения, которые потребуются нам в дальнейшем. Как известно, плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка точкой касания (рис.1). A Любая прямая, лежащая в касательной плоскости и проходящая через точку касания А, называется каO сательной к сфере. Говорят также, что сфера касается прямой в точке А. Для прямой, касатель- Рис. 1 ной к сфере, имеет место теорема, аналогичная теореме о касательной прямой к окружности. Теорема 1. Если прямая касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Обратно, если прямая проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, провеS денному в эту точку, то она является касательной к сфере. Рассмотрим в пространстве множество C точек центров сфер, касающихся сторон данM ного треугольника. OL A Прежде всего заметим, K что центр O вписанной B в треугольник АВС окружности является ценm тром одной такой сфе- Рис. 2


48

КВАНT 2002/?4

ры (рис.2). Если K, L, M точки касания окружности со сторонами АВ, ВС и СА соответственно, то сфера с центром O и радиусом ОK касается всех сторон треугольника АВС. Теперь нетрудно догадаться, что искомое множество точек есть перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, проходящий через точку O. Действительно, если S точка, принадлежащая перпендикуляру m, то SK = SL = SМ как наклонные, имеющие на плоскости АBС равные проекции. Кроме того, по теореме о трех перпендикулярах SK AB , SL BC , SM CA . Значит, согласно теореме 1, сфера с центром O и радиусом SK касается всех сторон треугольника АВС. Если же некоторая точка Q не лежит на перпендикуляре m к плоскости АВС, то не все расстояния от точки Q до сторон АВ, ВС, CA равны (в силу теоремы о наклонных и их проекциях на плоскость), и потому точка Q не является центром сферы, касающейся всех сторон треугольника АВС. Аналогично доказывается, что в пространстве множество точек центров сфер, касающихся всех сторон правильного многоугольника, также есть перпендикуляр к плоскости многоугольника, проходящий через его центр. Теперь дадим ответ на поставленный вопрос. Теорема 2. Для всякой правильной пирамиды всегда существует сфера, касающаяся всех ее ребер. Доказательство. Пусть N A1 ... An правильная n-угольная пирамида, NH ее высота, NK апофема, Р центр окружности, вписанной в грань NA1 A2 (на рисунке 3 изображена N лишь n-я часть пирамиды). Центр сферы, касающейся всех сторон правильного многоугольника A1 ... An , лежит на высоте NH пирамиды или на ее L продолжении за точку P Н. Множество центров A m сфер, касающихся стоO рон треугольника K NA1 A2 , есть перO пендикуляр m к плос H кости NA1 A2 , прохоA дящий через точку Р. Прямые m и NH лежат M в одной плоскости и пересекаются в некотоРис. 3 рой точке O1. Это следует из того, что A1 A2 NH, A1 A2 NK, И, значит, по теореме о двух перпендикулярах, A1 A2 перпендикуляр к плоскости NKH. Поэтому плоскости NHK и NA1 A2 перпендикулярны. Следовательно, прямая m лежит в плоскости NHK и пересекает прямую NH, поскольку угол NKH острый. Отсюда следует, что точка O1 есть центр сферы, касающейся сторон основания пирамиды и боковых ребер NA1 и NA2 . Радиус ее равен O1K. Эта сфера касается и всех других ребер пирамиды, так как расстояния от точки O1 до боковых ребер равны между собой. Таким образом, всегда существует сфера, касающаяся всех ребер правильной пирамиды. При этом каждая грань пересекает сферу по окружности, вписанной в грань, а точки касания окружности с ребрами являются в то же время точками касания сферы и ребер. Центр сферы лежит на высоте пирамиды или на ее продолжении. Отрезок, соединяющий центр O1 сферы с точкой касания L ребра пирамиды и окружности, вписанной в грань, перпендикулярен ребру и равен радиусу сферы.

Рассмотрим несколько задач о сфере, касающейся всех ребер правильной пирамиды. Задача 1. Боковое ребро правильной n-угольной пирамиды равно b, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен . Найдите радиус сферы, касающейся всех ребер пирамиды. Решение. Воспользуемся прежними обозначениями и рисунком 3. Так как A1A2 ... An правильный многоугольник, 1 то, полагая A1 A2 = a , имеем AL = AK = a , LN = b 1 1 2 1 a (отрезки AL и AK равны, как отрезки касательных 1 1 2 к окружности, вписанной в грань NA1 A2 ). Прямоугольные треугольники HA1N и LO1N имеют общий угол N, и потому РLO1N = РHA1N = . Обозначив радиус искомой сферы через R1 , находим

ж 1 з R1 = LN ctg = зb з 2 и a = 2HA1 sin
Отсюда следует, что

ц ч aч ctg , ч ш

= 2b sin cos . n n

ж ц R1 = b ctg з1 - sin c os ч . ч з ч з n и ш

(1)

В приведенном примере данные элементы b и принадлежали одному прямоугольному треугольнику. Поэтому имелась возможность вычислять промежуточные неизвестные величины одну за другой. В более сложных случаях приходится прибегать к введению вспомогательных неизвестных. Пользуясь формулой (1), легко получить другие формулы для вычисления радиуса R1 сферы, касающейся всех ребер правильной пирамиды. Продолжим высоту NH пирамиды за точку Н до пересечения с описанной около пирамиды сферой в точке М (см. рис.3). Тогда MN диаметр сферы, а также диаметр окружности, описанной около треугольника AMN . 1 Поэтому РMA1N = 90o , AH ^ MN , РNMA1 = РNA1H = . 1 Если R радиус сферы, описанной около правильной пирамиды, то MN = 2R. Из треугольника AMN следует, что 1 b = 2R sin , и поэтому

ж R1 = 2R cos з1 - sin cos з з n и

ц ч . ч ч ш

(2)

Обозначим высоту NH пирамиды через h. h NA1H имеем b = . Следовательно, sin ж h cos з1 - sin co s з з n и R1 = 2 sin

Из треугольника
ц ч ч ч ш

.

(3)

Центр сферы, вписанной в пирамиду, всегда лежит внутри пирамиды. Центр же описанной сферы может лежать как на высоте, так и на продолжении высоты вне пирамиды. Пользуясь рисунком 3, легко сравнить отрезки NH и MH. Если = 45o , то центр О описанной сферы совпадает с центром основания Н. При > 45o центр О лежит на высоте пирамиды, так как NH > MH, а при < 45o на продолжении высоты NH за точку Н (NH < MH). Выясним, где расположен центр сферы, касающейся всех ребер пирамиды. Задача 2. Высота правильной n-угольной пирамиды равна h, угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания равен . На каком расстоянии от плоскости основания находится центр O1 сферы, касающейся всех ребер пирамиды?


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

49

Решение. Воспользуемся формулой (3):
ж ц h cos з1 - sin cos ч ч з ч з n и ш . R1 = 2 sin

Далее находим

NO1 =
Таким образом,

R1 . cos

ж ц h cos зcos - sin ч ч з з nч и ш , где 0 < < . NO1 - h = n sin2

Отсюда следует, что точки O1 и Н совпадают тогда и только ж ц тогда, когда cos = sin , или cos = cos з - ч , откуда з2 nч ч з n и ш = - . Точка O1 лежит на высоте пирамиды, если 2n NO1 < NH , или

Чтобы вывести формулу б), найдем зависимость между величинами а и b. Имеем: HA1 = b cos , a = 2HA1 sin . n Значит, a = 2b sin cos . Подставив значение а в предыдуn щую формулу, получим b 1 - 2sin cos n . d= 2sin Из формулы а) следует, что центры О и O1 совпадают тогда и только тогда, когда a = b, т.е. когда все боковые грани пирамиды равносторонние треугольники, что возможно лишь при n < 6. Из формулы б) следует, что d = 0 лишь при условии . n Так как cos < 1 , то это возможно лишь при n = 3, n = 4 и n = 5. Заметим, что если n = 4, то = . При этом точки О, O1 4 и Н совпадают. Итак, центры О и O1 могут совпадать только тогда, когда правильная пирамида треугольная, четырехугольная или пятиугольная. Задача 4. Докажите, что в правильной шестиугольной пирамиде расстояние d между центрами сфер, описанной около пирамиды и касающейся всех ее ребер, выражается формулой
2sin

2sin

cos = 1 , или cos = n

1

ж ц cos < cos з - ч , откуда > - . з2 nч ч з 2n и ш Наконец, если < - , то точка O1 лежит на продолже2n нии высоты пирамиды NH , т.е. вне пирамиды. В частности, для правильной треугольной пирамиды полу чаем = , для четырехугольной пирамиды = , для 6 4 шестиугольной = . 3 Элементарно-геометрическим способом нетрудно доказать, что в правильной n-угольной пирамиде центры описанной и вписанной сфер совпадают тогда и только тогда, когда плоский угол при вершине пирамиды равен , т.е. сумма n всех плоских углов при вершине равна . Могут ли в правильной n-угольной пирамиде совпадать центр описанной сферы и центр сферы, касающейся всех ребер пирамиды? Решив следующую задачу, получим ответ на этот вопрос. Задача 3.Докажите, что расстояние d между центром О сферы, описанной около правильной n-угольной пирамиды, и центром O1 сферы, касающейся всех ее ребер, может быть выражено формулами 1 - 2sin cos a -b n а) d = , б) d = b , 2sin 2sin
где а и b пирамиды, основания. Решение. NO1 - NO . длины сторон основания и бокового ребра угол наклона бокового ребра к плоскости Расстояние между центрами сфер равно Из треугольника NO1L (см. рис.3) находим

d=

1 b tg . 2 2

Решение. Пусть NH высота правильной шестиугольной пирамиды, О центр описанной около нее сферы, O1

N

L F A B
Рис. 4

O O H C M

E D

NL = b -

a 2b - a , NO1 = . 2 2sin

Из треугольника MNA1 имеем

MN = 2R =
Следовательно,

b b , откуда R = . 2sin sin
b-a , 2sin

центр сферы, касающейся всех ее ребер (рис.4). Воспользуемся результатом задачи 3 и получим ж ц b з1 - 2sin cos ч ч з ч b 1 - cos 1 з 6 и ш = = b tg . NO1 - NO = 2 2sin 2sin 2 Так как 0o < < 90o , то NO1 - NO > 0 . Это значит, что центр описанной сферы при любом значении лежит между вершиной пирамиды и центром сферы, касающейся всех ее ребер. Задача 5. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды, равен R. Радиус сферы, касающейся всех ее ребер, равен R1 . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду, и расстояния от вершины пирамиды

NO1 - NO = NO1 - R =

или

d=

a -b . 2sin


50
N

КВАНT 2002/?4

J O O H

M
Рис. 5

или откуда

до центров этих сфер, если R = 4 и R1 = 3 . Решение. Проведем высоту NH данной шестиугольной пирамиды (рис.4 и 5). Тогда РHKN линейный угол двугранного угла при основании пирамиды. Центр J впиB санной сферы лежит на высоте пирамиды и на бис K сектрисе угла HKN. Введем обозначения: JH = r (радиус вписанA ной сферы), NH = h, РHKN = , РNAH = . По теореме о биссектрисе угла треугольника имеем HJ HK = , JN KN

r = cos , h-r
r= h cos 1 + c os .

Предлагаем читателю самостоятельно доказать истинность следующих соотношений между основными углами в правильной n-угольной пирамиде: а) tg = cos tg , n 1 sin , в) cos = ctg tg , б) cos = n2 2 sin n где величина плоского угла при вершине пирамиды, и величины тех же углов, что и в задаче 5. Формулы а), б) и в) находят применение при решении предлагаемых ниже задач. Следующая задача по содержанию близка предыдущей. Сохраняя прежние обозначения, при решении ее воспользуемся уже известными формулами. Задача 6.Дана правильная треугольная пирамида, r и R радиусы вписанной и описанной сфер. Найдите высоту h пирамиды и радиус R1 сферы, касающейся всех ребер пирамиды, если r = 1 и R = 3,5. Решение. Воспользуемся формулами r 1 + c os . h = 2 R sin 2 и h = cos Отсюда имеем
2R 1 + c os sin2 = . r cos

(5)

(4)

Вычислим неизвестные h и cos . Воспользовавшись формулой (2), ж R1 = 2R co s з1 з з и или

Сначала найдем угол . получим уравнение ц 1 c os ч , ч ч 2 ш

В правильной треугольной пирамиде углы и связаны: 1 ctg = 2ctg . В силу тождества 1 + c tg 2 = имеем sin2
1 4 1 - cos2 = - 3 , откуда sin2 = . 2 2 sin sin 1 + 3 cos2

cos2 - 2 cos +

R1 =0, R

Подставив значение sin2 в равенство (5), получим уравнение

откуда cos = 1 - 1 -

R1 (второй корень уравнения не R подходит, так как cos < 1 ). При R = 4 и R1 = 3 имеем 1 cos = , = 60o . 2
Далее из треугольников AMN и AHN находим
h = 2 R s in 2 , h = 8 Ч

2R + 3r cos2 - 2R cos + r = 0 , R ? 3 имеет два корня: которое при r
cos = R + R2 - 2Rr - 3r 2R + 3r
2



(если

3 =6. 4

R 1 = 3 , то корни равны: cos = ). r 3 При r = 1 и R = 3,5 уравнение принимает вид 10 cos 2 - 7 cos + 1 = 0 ,

Остается найти связь между углами и . Из треугольников ANH и KNH имеем AH = h ctg , KH = h ctg . А так как KH = AH sin 60o , то
3 ct g , 2 1 1 и cos b = . Подставив и легко находим, что ctg b = 2 5 значения h и cos в формулу (4), получим ctg b = r= 3

откуда cos =

1 11 2 o 4 = 3 , cos = 2 . Если cos = , то = 60 , sin = 37 2 7 1+ 4 Получим h = 2 R sin 2 , h = 7;

1 1 или cos = . 2 5



5 -1 2



' 1, 8 .

ж 3 з cos R1 = 2R cos з1 з 2 з и
Если cos =

ц ч ч , R1 = 2 ч ч ш



7- 3 '2.



Расстояние от вершины N пирамиды до центра О сферы, описанной около пирамиды, равно R, а расстояние от вершины N до центра O1 сферы, касающейся всех ребер, R . Следовательно, если R = 4 и R1 = 3 , то NO = равно cos = 4, NJ ' 6 1,8 = 4,2 и NO 1 = 6 (т.е. центр O1 совпадает с центром основания Н).

1 1 6 , то sin2 = , cos = . Получим 5 7 7 3 h = 6, R1 = 7 ' 1, 8 . 2

Продолжим исследование свойств сферы, касающейся всех ребер правильной пирамиды. Для этого предварительно решим следующую задачу.


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

51

Задача 7.Пусть R и r радиусы сфер, описанной около правильной n-угольной пирамиды и вписанной в нее, d расстояние между их центрами. Докажите, что 1 R ?1+ б) , а) d2 = R2 - 2Rr - r 2 tg 2 , n r cos n причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда центры сфер совпадают. Решение. Воспользуемся теми же обозначениями и формулами, что и при решении предыдущих задач. Составим систему уравнений:
h = h = tg 2R sin2 , 1 , r 1 + cos = 1 cos n tg .

Решение. Воспользуемся формулой (2): ж ц R1 = 2R cos з1 - sin cos ч ч з ч з n и ш и представим ее в виде

ж ц ч з sin cos з1 - sin cos ч . ч з n n и ш sin n Применим неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим двух положительных чисел а и b: ж a + b ч2 ц ab ? з з 2 ч , где равенство имеет место только при a = b. ч з и ш Получим R1 = R 2 y = sin
Следовательно,

cos n

ж ц1 з1 - sin cos ч ? . ч з ч з n и ш4

Возведем в квадрат обе части последнего равенства и получим

или

R1 2y 1 , = ? R sin 2 sin n n
R ? 2sin . R1 n

ц 1 1ж1 з -1 = ч з 2 - 1ч . ч и ш 2 з cos cos2 cos n Из первых двух уравнений находим
1 h-r 1 2R = = , . 2 r 2R - h cos cos

Равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда

sin

cos = 1 - sin cos , или 2sin cos = 1 , n n n

Подставив эти значения в предыдущее равенство, получаем квадратное уравнение относительно h :
h 2 - 2 R + r h + 4 Rr + r
2 2

cos r

откуда
h= R+r+

n

=0,

(6)



R-r

2

-

2 2

cos

n

.

А так как расстояние d между центрами описанной и вписанной сфер равно NJ - NO = h - r - R , то

d = R - r или

2

r cos

2 2

n

,

т.е. тогда, когда n < 6 и центры сфер совпадают (см. задачу R 3). Для правильной треугольной пирамиды получаем ? 3, R1 R для четырехугольной пирамиды ? 2 (равенство имеет R1 место при = 45o ). Для шестиугольной пирамиды и при R > 1 , т.е. R > R1 . всех n > 6 имеем R1 Из приведенных примеров видно, что решение связанных между собой задач упрощается, если задачи расположены в определенной последовательности так, что решение первых, более простых задач помогает отыскать решение последующих. Предлагаем читателям для самостоятельного решения еще несколько задач о сфере, касающейся ребер правильной пирамиды.

Упражнения
1. Сторона основания правильной пирамиды равна а, боковое ребро равно b. Найдите радиус сферы, касающейся всех ребер пирамиды. 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h. Двугранный угол при основании равен 60њ. Найдите радиус r сферы, вписанной в пирамиду, и радиус R1 сферы, касающейся всех ее ребер. 3. В сферу радиуса R вписана правильная шестиугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен . Найдите радиус сферы, касающейся всех ребер пирамиды. 4. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, в два раза больше радиуса сферы, касающейся всех ее ребер. Найдите величину плоского угла при вершине пирамиды. 5. В правильной n-угольной пирамиде центр О сферы, описанной около пирамиды, симметричен центру O1 сферы, касающейся всех ее ребер, относительно плоскости основания. Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к основанию. Вычислите его при n = 6.

d2 = R2 - 2Rr - r 2 tg 2 . n
Дискриминант уравнения (6) неотрицателен, следовательно,

R ?1+ r

1 cos

n

.

Равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда d = 0, т.е. центры сфер совпадают. Естественно поставить вопрос: нельзя ли получить аналогичное неравенство для радиуса описанной сферы и радиуса сферы, касающейся всех ребер правильной пирамиды? Задача 8. Пусть R радиус сферы, описанной около правильной n-угольной пирамиды, и R1 радиус сферы, касающейся всех ее ребер. Докажите, что
R ? 2sin . R1 n