Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/11.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:58 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:10 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 13

УРАВНЕНИЯ

ПЕЛЛЯ

11

Итак, числа z и t целые, 1 < z + t d ? a + b d и z 2 - d t 2 = 1 . В силу леммы 4 это возможно лишь в случае равенства z + t d = a + b d , т.е. в случае

x + y d = qn ,
что и требовалось доказать.
Упражнение 44. Пусть a наименьшее натуральное число, для которого существует такое натуральное число b, что a 2 - db 2 = 1 . Если x, y целые числа и x 2 - dy 2 = 1 , то для некоторого целого числа n имеем x + y d =

видны. Докажем второе. Пусть z; t О M. Тогда c z -t d = , z +t d так что

z-t d < c
и, следовательно,

z=

z

+ t d + z - t d 2



<

q+ c , 2 q+ c 2d
.

= + a + b d



n

. Докажите это. Уравнение x 2 - dy 2 = c

t=

z

+ t d - z - t d 2



<

Доказательство теоремы 12 могло показаться довольно длинным. Не вполне ясно, что проще: жонглировать неравенствами или иррациональностями. Оказывается, однако, что использованное при доказательстве теоремы 12 рассуждение позволяет выяснить, как устроены решения в целых числах уравнения x 2 - dy2 = c . Напомним обозначения. Как и прежде, d натуральное число, не являющееся квадратом; a наименьшее натуральное число, для которого существует такое натуральное число b, что a 2 - db2 = 1 ; q = a + b d ; наконец, c некоторое целое число, c ? 0 . Пусть x и y ц елые числа, x 2 - dy2 = c и x + y d > 0 . Рассмотрим числа вида qn , где n пробегает множество всех целых чисел. Поскольку lim q n = 0 и lim qn = +? , то существует такое целое число n, что
n R-? n R+?

Теорема 13 доказана.
Упражнения 45. Уравнение x 2 - 11y 2 = 17 не имеет решений в целых числа. Докажите это. 46. Найдите все наборы а) 11; б) 23 последовательных чисел, сумма квадратов которых является квадратом целого числа. 47. Найдите все такие натуральные числа х, что число, получаемое зачеркиванием последней цифры числа x 2 , тоже является квадратом натурального числа. (А.Балахонкин и Ф.Кац, девятиклассники школы 131, Казань). 48. Решите в целых числах уравнение а) x 2 - 17y 2 = -16 ; б) x 2 - n 2 + 1 y = -1 , где n натуральное число. 49. Если уравнение x 2 - dy 2 = -1 имеет решение в натуральных числах х и у, то выбрав из таких решений то, 2 где х наименьшее возможное, получим а) q = x + y d ; б) M = 1. Докажите это. 50. При a ? 2 уравнение x 2 - a 2 + 1 y 2 = -a 2 имеет не менее трех серий решений, т.е. множество М для него состоит не менее чем из трех элементов. Докажите это. 51. Пусть р простое число, p 1( mod 4 ) , a наибольшее (существующее в силу теоремы 10) натуральное число, для которого существует такое натуральное число b, что a 2 pb 2 = 1 . Докажите, что а) a нечетно; б) для некоторых 2 натуральных чисел u и v верны равенства a + 1 = 2u , 2 2 2 a + 1 = 2 pv и b = 2uv ; в) u pv = 1 . 52*. Решите в натуральных числах уравнение













q

n-1

< x + y d ? qn .

Рассмотрим число
E = x+y d :q





n-1

.

Легко понять, что E представимо в виде

E = z +t d ,
где z и t целые числа. При этом
z 2 - dt 2 = c

(* ) ( ** )

а) 3 s = 2r + 1 ; б) x 2 + 2y = 3z . 53. Решите в целых числах уравнение а) x 2 + 8xy + y 2 + 2 x - 4y + 1 = 0 ; б) 3u 2 + 11uv + 9v 2 + u + v = 0 .

и

1< z +t d ? q .

(Продолжение следует)
Информацию о журнале 'Квант' и некоторые материалы из журнала можно найти в ИНТЕРНЕТЕ по адресам: Курьер образования http://www.courier.com.ru Vivos Voco! http://vivovoco.nns.ru (раздел 'Из номера') Московский детский клуб 'Компьютер' math.child.ru

Теорема 13. Рассмотрим всевозможные пары целых чисел (z; t), удовлетворяющие условиям ( * ) и ( ** ). Верны следующие утверждения. 1) Если множество M таких пар пусто, то уравне2 2 ние x - dy = c не имеет решений в целых числах x и y. 2) Множество M конечно. 3) Все целочисленные решения уравнения 2 x - dy2 = c можно получить из формул x + y d = = + z + t d q n , где z; t О M, а n целое число. Доказательство. Первое и третье утверждения оче-





3*