Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/27.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:58 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:38 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 31

'КВАНТ'

ДЛЯ

'МЛАДШИХ'

ШКОЛЬНИКОВ

27

Условие А1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Конечно, это условие разумно. На рисунке 1 представлена схема метро всего с двумя станциями. Жители мегаполисов могут снисходительно усмехнуться по поводу масштабов этой транспортной системы, но и такие существуют, только не под землей, а над землей, например канатные дороги, соединяющие подножие горы с ее вершиной. Линию метро на рисунке 1 можно продолжить и построить на ней новые станции. Получится одна
*

мы выполняются не только на знакомой нам плоскости, содержащей бесконечно много точек и

Рис. 5

*
)

)
Рис. 2

Рис. 1

прямая с несколькими станциями (рис.2). В таком случае математики говорят, что получилась геометрия из нескольких точек, лежащих на одной-единственной прямой. В частности, кольцевая схема на рисунке 3 тоже представляет собой геометрию, состоящую из одной прямой и пяти точек, лежащих на ней. Рис. 3 Рассмотрим теперь более интересные схемы метро, в которых вместе с условием А1 выполнено новое Условие А2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. Минимально возможное количество точек в этом случае равно трем. На рисунке 4 представлена схема, состоящая из трех точек и трех прямых. Особо подчеркнем, что точек именно три. На каждой из трех прямых АВ, ВС, СА лежит ровно по * две точки! Никаких других точек, кроме названных, на этих прямых нет. Если интерпретировать рисунок 4 как схему некоторого метрополитена, то это станет осо) бенно ясным. Пассажир не + может находиться по своеРис. 4 му желанию как угодно долго между станциями А и В, В и С, С и А. Нельзя, например, назначить свидание в какой-нибудь точке перегона АВ ! Следовательно, для пассажиров таких точек и не существует, Схемы на рисунке 5 содержат три прямые и девять точек. Для них выполнены условия А1 и А2. Теперь признаемся, откуда мы взяли эти два условия. На самом деле это две первые аксиомы из школьного учебника. Мы намерены показать, что эти аксио7*

бесконечно много прямых, но что они также выполняются и для геометрий, которые называются конечными, в таких геометриях и множество точек, и множество прямых конечны. Следующая, третья аксиома звучит так: Условие A3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Это утверждение является теоретическим положением математики, а математика работает с идеальными,

Иллюстрация В.Акатьевой