Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/21.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:58 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:22:08 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'



(очевидно, в этой сумме конечное число отличных от нуля слагаемых). Используя очевидное неравенство [t ] ? t для любого вещественного числа t, получаем йnщ й n щ йnщ a = к ъ + к 2 ъ +K + к k ъ +K < кл 2 ъы кл 2 ъы кл 2 ъы n n n < + 2 +K+ k +K = n . 22 2 Лемма доказана. В.Сендеров

М1809*. Пользуясь одной линейкой, найдите центры а) двух пересекающихся окружностей; б) двух касающихся (внешним или внутренним образом) окружностей; в) двух концентрических окружностей.
Воспользуемся известной теоремой: если из точки вне окружности проведены к окружности две касательные и две секущие и если точки пересечения секущих с окружностью рассматриваются как вершины выпуклого четырехугольника, то точка пересечения диагоналей этого четырехугольника принадлежит прямой, проходящей через точки касания указанных касательных с окружностью, а две противоположные стороны четырехугольника или параллельны, или точка пересечения их продолжений лежит на той же прямой. Доказательство теоремы можно найти, например, в книге И.Ф.Шарыгина 'Задачи по геометрии: планиметрия' (серия 'Библиотечка 'Квант', вып. 17; задача II.271). Эта теорема позволяет выполнить следующее построение. Построение 1. Из точки вне окружности провести к окружности касательные. Проведем из точки А к окружности три произвольные секущие, которые пересекут окружность в точках В и C, D и Е, F и G (рис.1). Прямые ВЕ и DC пересекаются в точке K, а пряN мые DG и FE в C точке L. Прямая K B A E KL пересечет окD ружность в точках L F М и N. Прямые G АМ и AN искоM мые касательные. Рис.1 Устремляя угол между секущими к нулю, из теоремы получим следствие: если из точки вне окружности проведены к окружности две касательные и секущая, то на прямой, проходящей через точки касания касательных с окружностью, пересекаются (если они не параллельны) две другие касательные к окружности, проведенные через точки пересечения окружности с секущей. С помощью этого следствия нетрудно доказать еще одну теорему: пять указанных ниже прямых, если они не параллельны, пересекаются в одной точке: две касательные к окружности, проведенные через точки ее пересечения с диагональю описанного около окружности четырехугольника, продолжение второй диагонали четырехугольника и две прямые, каждая из которых проходит через две расположенные по одну сторону от второй диагонали точки касания окружно6 Квант ? 4

сти со сторонами B четырехугольниK F ка. Пусть четырехL угольник ABCD A P MC описан около окружности, K, L, E M, N точки каN сания его сторон с Рис.2 D окружностью, и пусть прямые KL и MN пересекаются в точке Р (рис.2). Из точки Р проведем к окружности касательные РЕ и PF (Е и F точки касания). Согласно указанному выше следствию, прямые АВ и ВС, AD и CD пересекаются на прямой EF. Но эти прямые пересекаются на диагонали BD. Следовательно, точки Е и F лежат на диагонали BD. Остается доказать, что продолжение диагонали АС проходит через точку Р. Пусть прямая KL пересекает прямую АС в точке P ? , а прямая NM пересекает АС в точке P ?? . Из треугольника АВС, по теореме Менелая, получим AK BL CP ? Ч Ч = -1 . KB LC P ?A Точно так же из треугольника ADC AN DM CP ?? Ч Ч = -1 , ND MC P ??A откуда AK BL CP ? AN DM CP ?? Ч Ч = Ч Ч . KB LC P ?A ND MC P ??A Учитывая равенство длин касательных, проведенных к CP ? CP ?? окружности из одной точки, , т.е. точки P ? = P ?A P ??A и P ?? совпадают, или, что то же самое, прямая АС проходит через точку пересечения прямых KL и NM. Теорема обосновывает такое построение. Построение 2. Провести касательную к окружности через заданную на окружности точку. Пусть на окружности задана точка Е (см. рис.2). Через эту точку проведем произвольную секущую (но заведомо не через центр окружности), которая пересечет окружность в точке F. Возьмем S на прямой EF по разные стороны от окружности произвольные точки В и D и из них проведем к окружности касательные (построение 1). Пусть соответствующие точки переA F сечения касательных А и С, а точки касания K, L, M, N. N Прямые KL, NM и АС пересекаются в точке Р, а прямые РЕ B E и PF касаются окружности. Понадобятся еще два вспомоM гательных построения, доказательства которых почти очевидны, а потому опускаются. D Построение 3. Через точку А C провести прямую, параллель- Рис.3