Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/22.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:58 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:22:09 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

КВАНT 2002/?4

ную двум данным на плоскости параллельным прямым. Через точку А проведем A прямую, пересекающую B параллельные прямые в точках В и С (рис.3). E C D Взяв на прямой АВ произвольную точку S, проведем через эту точку еще одну прямую, которая пересечет те же параллельные прямые в точках Е и D. Пусть М точка пересечения прямых BD и СЕ, N точка пересечения прямых SM и АЕ, F Рис.4 точка пересечения прямых BN и SD. Тогда AF искомая прямая. Построение 4. Найти диаметр окружности, перпендикулярный двум параллельным прямым, лежащим в плоскости окружности. Возьмем на окружности точки А и С (рис.4) и построим хорды АВ и CD, параллельные заданным прямым (построение 3). Для удобства построения точки А и С выбираются так, чтобы хорды АВ и CD были заведомо не равны. Если Е точка пересечения прямых AD и ВС, S точка пересечения прямых СА и DB, то искомый диаметр лежит на прямой SE. Теперь решим задачу а). Пусть окружности пересекаются в точках А и В (рис.5), причем сначала рассмотрим случай, когда отрезок АВ не совпадает с диаметром одной из окружностей. В этих точках проN A ведем к окружностям касательные (построение 2). Если С точка E F пересечения касаCK LD тельных к одной окружности, а D точка пересечеB ния касательных M к другой окружРис.5 ности, то прямая CD, в силу симметрии, проходит через центры окружностей. На рисунке 5 EL и KF диаметры окружностей. Если построить другие диаметры этих окружностей, то задача будет решена. Проведем прямые AK и BL до пересечения с окружностями в точках М и N, а затем проведем прямые ЕМ и FN. РLEM = РMAL , как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Точно так же РKFN = РKBN . Но, учитывая симметрию, РMAL = РKBN , поэтому РLEM = РKFN , значит, прямые ЕМ и FN параллельны. Теперь, пользуясь построением 4, найдем диаметры окружностей, перпендикулярные прямым ЕМ и FN. Если точки пересечения окружностей очень близки к концам одного диаметра меньшей окружности (или, возможно, совпадают с концами диаметра, но это не
S

*? *? * ) 3 * ) )?
Рис.7

3

)?
Рис.6

известно заранее), так что получить точку пересечения касательных к меньшей окружности не удастся, можно воспользоваться точками пересечения касательных к меньшей окружности с большей окружностью если рассматривать эти точки как вершины трапеции (или прямоугольника), то точка пересечения диагоналей такой трапеции (прямоугольника) и точка пересечения касательных к большей окружности находятся на прямой, проходящей через центры окружностей. Если известно, что точки пересечения окружностей совпадают с концами диаметра меньшей окружности, или известно, что окружно* сти равны, то построения значительно упрощаются (рассмотрите эти случаи). б) Пусть окружности касаются в точке Q (рис.6 и 7). + Проведем через эту точку две прямые, пересекающие окружности в точках А и В, ) A? и B? соответственно. , Учитывая гомотетию с центром в точке Q, прямые АВ 5 Рис.8 и A? B? параллельны, поэтому, пользуясь построением 4, найдем диаметры окружностей, перпендикулярные этим прямым. Проведя через точку Q другие прямые, найдем другие диаметры. в) Взяв вне окружностей произвольную точку S, проведем касательные к меньшей окружности, которые пересекут большую окружность в точках А, В, С, D (рис.8). Если Е точка пересечения прямых АС и BD, то прямая SE проходит через центр окружностей. Так же найдем еще одну прямую, проходящую через центр. В заключение стоит отметить, что если на чертеже нет других фигур, кроме одной окружности, то найти ее центр с помощью только линейки нельзя. Но если окружность задана вместе с центром, то с помощью одной линейки можно, как известно из геометрии, проводить всевозможные построения. И.Вайнштейн

М1810*. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится четное число ребер. Одна грань многогранника красная, остальные синие. Периметр каждой синей грани равен целому числу. Докажите, что периметр красной грани равен целому числу.
Доказательству этого факта предпошлем две леммы. Лемма 1. Выпуклый многогранник, в каждой вершине