Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/61.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:00 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:17:30 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 13

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

61

10. Поверните правильный пятиугольник вокруг его центра на угол, не кратный 72њ. 11. Одна точка; две точки; вершины правильного многоугольника; объединение множества вершин правильного многоугольника с его образом при повороте вокруг центра многоугольника.

Нелинейные элементы в электрических цепях
1. Сопротивление надо уменьшить на 200 мОм. 2. a =
Рис. 4 Рис. 5

1 PX ( R2 R3 R1 )
3

= 0,125 A B2 .

такое значение достижимо (на нем открытые двери обозначены тонкими линиями, а закрытые жирными). б) Здесь в каждой белой комнате открыто не более 2 дверей, значит, всего открыто не больше 2 ? 40 = 8 0 дверей. Рисунок 4 подтверждает, что такое тоже возможно. в) Если здесь пойти тем же путем, то можно получить, что число открытых дверей не превышает 3 ? 40 = 12 0 . Однако практически достичь такого значения невозможно. Оказывается (вот некий легкий парадокс!), точнее ограничение сверху могут дать... черные комнаты, хотя их и больше! Дело в том, что 4 угловые черные комнаты имеют всего по 2 двери, остальные 37 черных комнат больше чем по 2 двери. Поэтому общее число открытых дверей в черных комнатах не превышает 2 ? 4 + 3 ? 3 7 = 119 . А уж такое-то значение достижимо (рис.5).

3. I0 =

- - U0 = 5 Ч 10-3 A ; q = C (- - U0 ) = 5 Ч 10-4 Кл ; R 2 C (- - U0 ) = 12, 5 Ч 10-4 Дж . QR = 2

1. R1 = 2. 3. 4. 5.

Сфера, касающаяся ребер правильной пирамиды a (2b - a ) a
, b> 2 2 2b2 - a2 1 1 r = h , R1 = h 10 - 3 3 R1 = 4R sin 1 - sin , 2 2 37o и 86o . При n = 6 cos 0, 6 40 .

(

2.

)

0o < < 60o .
( 50o10 ).

Калейдоскоп 'Кванта'
1. n. 2. Нет. Рассмотрите множество вершин правильного 11-угольника. 3. См. рис.6. 4. 6 осей, проходящих через середины противоположных ребер, и 3 оси, проходящие через центры противоположных граней. 5. 3 оси, проходящие через середины противоположных ребер. 6. Выбрав некоторую ось симметрии l, докажите, что для любой оси симметрии m прямая, симметричная прямой m относительно l, тоже является осью симметрии. Таким образом, все оси симметРис. 6 рии, скрещивающиеся с прямой l или оси, пересекающие l, но не перпендикулярные ей, разбиваются на пары. (Честно говоря, если количество осей симметрии конечно, то они проходят через одну точку. Но в решении задачи можно обойтись и без доказательства этого факта.) А для любой оси симметрии m, перпендикулярной прямой l и пересекающей прямую l, докажите, что прямая, проходящая через точку их пересечения перпендикулярно обеим прямым, тоже является осью симметрии. 7. а) Сечение этого тела плоскостью , проходящей через оси цилиндров, квадрат. Поэтому тело имеет плоскость симметрии и еще четыре перпендикулярные плоскости, проходящие через оси симметрии квадрата. б) Тело имеет 9 плоскостей симметрии (как куб). 8. а) 8 Ч 3 ! = 48 ; б) 6 Ч 4 Ч 2 = 48 ; в) 20 Ч 3 ! = 12 0 ; г) 12 Ч 5 Ч 2 = 12 0 . Половина самосовмещений сохраняют ориентацию, половина меняют. 9. а) 6! 2 4 = 30 ; б) 8 ! 2 4 = 1680 ; в) 12 ! 6 0 = 7983360 ; г) 20 ! 6 0 = 405483668 02944000.

LXV Московская математическая олимпиада
Математический праздник 6 класс
1. БАО = 143. Решение. Если Б ? 2 , то БА ? 2 0 и БАО > 200, так что БАО Ч БА Ч Б > 2 00 Ч 2 0 Ч 2 = 8000 > 2002. Значит, Б = 1. Разложим число 2002 на простые множители: 2002 = = 2 Ч 7 Ч 11 Ч 13 . Теперь легко выписать все начинающиеся на цифру 1 двузначные делители числа 2002. Это числа 11, 13 и 2 Ч 7 = 14 . Вычислим соответствующие частные: 2002 : 11 = = 182, 2002 : 13 = 154 и 2002 : 14 = 143. Ответ очевиден: БАО = 143. 2. 2 или 6. Решение. Фигура состоит из 22 клеток. Если получилось х трехклеточных уголков и у четырехклеточных, то

3 х + 4у = 2 2 .
Очевидно, х четно и x < 8, так что х = 0, 2, 4 или 6. Значения х = 0 или 4 не подходят: у получается нецелым. При х = 2 или 6 получаем Рис. 7 у = 4 или, соответственно, у = 1. Оба случая возможны, как показано на рисунке 7. 3. 218, 219, 220, 221, 222, 224, 225, 226 и 227. Решение. Обозначим наименьшее из десяти чисел буквой х. Тогда x + ( x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) + ( x + 4) + ( x + 5) + ( x + 6 ) +

+ (x + 7) + (x + 8) + (x + 9) - ( x + y ) = 2002 ,
где х + у вычеркнутое число (так что 0 ? y ? 9 ). Упростим уравнение: 10х + 45 х у = 2002, т.е. 9х =1957 + у.