Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/kv0502alekseev.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:36:52 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 5

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

43

Отсюда найдем высоту подъема жидкости:
h=
0

( - 1) U 2g d .
2

Упражнения
1. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин 2 и расстоянием между ними d = 0,1 см находится пластина из стекла ( = 5 ), целиком заполняющая пространство между пластинами конденсатора. Как изменится энергия конденсатора, если удалить стеклянную пластину? Решить задачу при двух условиях: 1) конденсатор все время подсоединен к батарее с напряжением U = 300 В; 2) конденсатор был первоначально присоединен к той же батарее, затем отключен, и после этого пластина была удалена. Найдите также механическую работу, которая затрачивается на удаление пластины в том и другом случае. 2. Плоский воздушный конденсатор, пластины которого расположены горизонтально, наполовину залит жидким диэлектриком с проницаемостью . Какую часть конденсатора надо залить этим же диэлектриком при вертикальном расположении пластин,
S = 200 см

чтобы емкости в обоих случаях были одинаковы? 3. В подключенный к @D батарее плоский конденсатор вставляются две пластины из сегнетоэлектрика ( = 100 ) таким образом, что между ними остается неболь- Рис. 8 шой зазор (рис.8). При какой величине зазора h поле в нем будет в n = 50 раз больше, чем в отсутствие диэлектрика? Расстояние между обкладками d = 2 см. 4. Плоский конденсатор с горизонтально расположенными пластинами подсоединен к батарее с ЭДС E и помещен в сосуд, который постепенно заполняется керосином ( = 2 ). Найдите зависимость напряженности поля в центре конденсатора от толщины слоя керосина h внутри него. Расстояние между пластинами конденсатора равно d.

Точка на окружности
В.АЛЕКСЕЕВ, В.ГАЛКИН, В.ПАНФЕРОВ, В .ТАРАСОВ

Итак, приступим к решению задач. Задача 1. В треугольнике АВС даны сторона ВС = а и РA = . Пусть I центр вписанной окружности, Н ортоцентр (точка пересечения высот), B1 и C1 основания высот, проведенных ) из вершин В и С. Найдите RABC, RBIC , RBHC , а также отрезки BC1 и 1 АН. 1 Решение. По теореме синусов находим радиус + описанной около треуголь- * + = ника АВС окружности:

З

хордах и касательных, проходящих через эти точки, часто встречаются в вариантах вступительных экзаменов. С методами решения таких задач мы и собираемся познакомить читателей. Напомним основные теоремы, которыми нам в дальнейшем придется часто пользоваться. Это прежде всего теоремы о вписанных углах, углах между хордами и касательными, углах с вершиной внутри и вне круга и, разумеется, теорема синусов. Причем теорему синусов часто бывает удобно применять в следующей формулировке: если из точки А окружности радиуса R хорда ВС длины а видна под углом , то a = 2R sin (рис.1). Мы рекомендуем читателям вспомнить формулировки и доказательства упомянутых теорем. Ведь очень часто доказательство той или иной теоремы содержит в себе методы решения близких по формулировке задач. ) В дальнейшем мы будем придерживаться стандартных обо значений сторон, углов и других элементов треугольника, т.е. полагать, что ВС = а, АС = b, AB = c , РA = , РB = , = РC = . Радиус окружности, + * проходящей через три задан` ные точки K, L, M, будем обоA? значать как RKLM . Рис. 1

АДАЧИ О ТОЧКАХ, ЛЕЖАЩИХ НА ОКРУЖНОСТИ, О

R = RABC =

a . 2sin

Рис. 2

Так как I точка пересечения биссектрис (рис.2),

РBIC = -

+ - = =+. 2 2 22

(Заметим попутно, что РBIC всегда тупой и выражается только через угол .) По теореме синусов, a a RBIC = = . ж ц ч 2sin з + ч 2cos з2 з 2 2ч и ш Угол ВНС также выражается через , а именно, РBHC = - . Кстати, здесь необходимо рассмотреть два (рис.3,а) и > (рис.3,б). возможных случая: < 2 2 Проследите это самостоятельно. Снова по теореме синусов
a C A


б B

H `


` H B

B



A

C



Рис. 3

C

B

C


44
получаем
RBHC = BC a = =R. 2sin - 2sin

КВАНT 2002/?5

Для отыскания АН заметим, что точки А, B1 , C1 и Н лежат на одной окружности с диаметром АН (см. рис.3). По теореме синусов, C1B1 = AH sin . Найдем отрезок BC1 . 1 Для этого заметим, что треугольник B1 AC1 подобен треугольнику АВС, ибо из прямоугольных треугольников BB1 A и CC1 A получаем

= 180o - 60o = 120o , и по теореме синусов искомый радиус равен 6 KM =2 3. RKLM = = 2sin РKLM 2sin 120o
Упражнение 6. Радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС, равен 1. Известно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через вершины А, С и точку пересечения высот треугольника АВС. Найдите длину стороны АС. P

AB1 AC1 = = cos AB AC (или cos - = - cos при > ). Поэтому треугольни2 ки B1 AC1 и АВС подобны с коэффициентом cos . Но тогда BC1 = a cos 1
и
AH = a ctg .
Упражнения 1. Из точек А и A1 , лежащих по одну сторону от прямой ВС, отрезок ВС виден под одним и тем же углом ? 0 . Докажите, что около четырехугольника BAA1C можно описать окружность. 2. Из точек А и A ? , лежащих по разные стороны от прямой ВС, отрезок ВС виден под углами и 180o - соответственно. Докажите, что около четырехугольника BACA ? можно описать окружность. 3. Докажите, что выпуклый четырехугольник АВСD является вписанным тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180њ. 4. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда AB + CD = AD + BC. 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника AB1C1 (см. задачу 1).

Задача 3 (МГУ, биофак, 1990). Из точки М на окружности проведены три хорды: MN = 1, MP = 6, MQ = 2. При этом углы NMP и PMQ равны. Найдите радиус окружности. Решение. Пусть R искомый радиус, РNMP = = РQMP = , NP = x (рис. 5). Тогда PQ = 2R sin = x (в окружности против равных вписанных углов лежат равные хорды). Теорема косинусов систему относительно х и cos

x x Q

N
Рис. 5

M



для VMPN и VMPO дает Q :

м x2 = 12 + 62 - 2 Ч 1 Ч 6 Ч co s , п п н2 п x = 22 + 62 - 2 Ч 2 Ч 6 Ч c os , п о

откуда

мx = 34, п п п н пcos = 1 , п п 4 о п
sin = 1 - c os2 = 15 . 4

а

Задача 2 (МГУ, мехмат, 1972). В треугольнике KLM угол L тупой, а длина стороны KM равна 6. Найдите радиус описанной около треугольника KLM окружности, если известно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящий через вершины K, М и точку пересечения высот треугольника KLM. Решение. Обозначим через Н ортоцентр треугольника KLM, через О центр окружности, проходящей через точки K, M, H (рис.4). По условию угол L тупой. Поэтому точка Н лежит вне VKLM , точка L является точкой пересечения высот в VKHM и лежит H внутри VKHM , а треугольник KHM остро угольный (его углы при M вершинах K, Н, M являются острыми углами пряO 180 ` моугольных треугольниK MHM1 , L ков MKM1 , KMK1 соответственно). M Пусть РKHM = . ТогK да центральный угол KOM равен 2 . Из точек О и L окружности KLM хорда Рис. 4 KM видна под одним и тем же углом: РKLM = =РKOM = 2 . Но РKLM = РK1LM1 = 180њ - , так как в четырехугольнике LK1HM1 углы при вершинах K1 и M1 прямые. Поэтому 2 = 180o - , т.е. = 60o , РKLM =

Значит,
R= 34 x =2 . 2sin 15

Упражнение 7. Через вершину угла А проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках М и N. Биссектриса этого угла пересекает окружность в точке Р. Найдите радиус окружности, если АМ = 1, AN = 2, ) ) АР = 4.

Задача 4 (МГУ, физфак, * = 1971). Пятиугольник , * ABCDЕ вписан в окружN > ность. Расстояния от вершины Е до прямых АВ, ВС и CD равны а, b и с соответ+ ственно. Найдите рассто? яние от вершины Е до диагонали AD. Решение. Докажем сле, дующее свойство точки Е Рис. 6 окружности (рис.6): Если AE = a , B1E = b , C1E = c , DE = x соответ1 1 ственно, расстояния от точки Е окружности до прямых АВ, ВС, CD, AD, образующих вписанный четырехугольник ABCD, то аc = bx. Доказательство вытекает из наличия двух пар подобных


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

45
(где Q =

прямоугольных треугольников, имеющих общие гипотенузы, а значит, и одинаковые коэффициенты подобия. Действительно, вписанные углы ABE и ADE опираются на дугу АЕ и потому равны, значит, треугольники BA1E и DD1E BE a =. подобны с коэффициентом k = DE x Далее, углы BBE и C1DE равны, так как дополняют 1 один и тот же угол CDE до 180њ (по свойству вписанного четырехугольника ABCD), значит, треугольники BB1E и BE b =. DC1E тоже подобны с тем же коэффициентом k = DE c Окончательно имеем

подобных треугольников IQA и I2QD 1 = AI2 I DI1 ) уже имеет тупой угол. Значит,

РI1 AI2 = РI1DI2 =

. 6

Докажем, что РBAC = 2РI1 AI2 = 2 = . Действительно, 6 3 угол ВАС есть разность двух углов BA D и CA D ( РBAC = РBAD - РCAD ), а угол I1 AI2 образован биссектрисами последних. Но тогда
РI1 AI2 = РI1 AD - РI2 AD =

Упражнение 8 (МГУ, физфак, 1971). В окружность вписана трапеция ABCD ( AD P BC , AD > BC ). На дуге CD, не содержащей вершин А и В, взята точка S. Точки Р, Q, M и N являются основаниями перпендикуляров, опущенных из S на прямые CD, АВ, AD и ВС соответственно. Известно, что SM = a, SN = b, SP = c. Найдите отношение площадей треугольников MQS и MPS.

ab = Ю ac = bx . x c ac . Искомое расстояние равно x = b

1 1 1 РBAD - РCAD = РBAC , 2 2 2

откуда

РBAC =
Упражнения

, а BC = 3 . 3

Задача 5 (МГУ, геогр. ф-т, 1989). В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали АС и BD. Известно, что AD = 2, РABD = РACD = 90њ и расстояние между точкой пересечения биссектрис треугольника ABD и точкой пересечения биссектрис треугольника B C ACD равно 2 . Найдите длину стороны I I ВС. Решение. Из точек В Q A D и С отрезок AD виден под одним и тем же (пряРис. 7 мым) углом. Значит, четырехугольник ABCD является вписанным в окружность с диаметром AD = 2 (рис.7), причем

9. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведена диагональ АС, AD = 7, BC = 3, РACD = 60o . Известно, что точки А, В, С, D лежат на одной окружности и перпендикуляр, проведенный из точки А к стороне CD, делит угол BAD пополам. Найдите длину диагонали АС. 10. В выпуклом четырехугольнике KLMN проведены диагонали KM и LN. Известно, что РKLM = РKMN = 60o , LM = 3 и расстояние между точкой пересечения биссектрис треугольника KLN и точкой пересечения биссектрис треугольника KMN равно 1. Найдите длину стороны KN. 11 (МГУ, геогр. ф-т, 1986). Внутри треугольника АВС взята точка K. Известно, что длина стороны ВС равна 1, длина стороны АВ равна равны 30њ, 120њ и 120њ соответственно. Найдите длину отрезка BK.
3 , а величины углов АВС, AKB и CKB 2

BC = 2R sin РBAC , где R =

1 AD = 1 . 2

Задача, следовательно, сводится к отысканию угла ВАС. Если из точки В окружности отрезок AD виден под углом , то из центра I1 вписанной в V ABD окружности отрезок + (см. задачу 1). Так как AD виден под углом 2 РABD = РACD = , I1 и I2 центры вписанных в V ABD 2 и V ACD окружностей, то ц 3 1ж ч з РAI1D = РAI2 D = з + ч = 2ч 4. 2з и ш Значит, четырехугольник AI1I2 D тоже является вписанным в окружность. Ее радиус

Задача 6 (МГУ, геогр. угольнике ABKC длина диагонали ВС равна 1, а величины углов АВС, BKA и BKC равны 120њ, 30њ и 60њ соответственно. Найдите длину стороны BK. Решение. Отрезок BK виден из точек А и С под углами РBAK = и РBCK = ч соответственно (рис.8). Из треугольников АОВ и KOC
o

ф-т, 1986). В выпуклом четырехстороны АВ равна 3 , длина B x K њ



њ

O

! !

њ

A
Рис. 8

$њ ` ч
C

получаем

РAOB = РCOK = 180 -РABO -РBAK =
o o o = 180 - 120 - = 60 - ,

AD R1 = = 2sin РAI1D
Так как I1I2 = 2R1 sin РI1 AI2 , то

2 2sin

ч = 180o - РCOK - РOKC =
= 180o - 60o - - 60o - 30

3 4

= 2.





o



= 90 o + .

II 1 sin РI1 AI2 = 1 2 = . 2 R1 2

Найдем радиусы описанных около V ABK и VCBK окружностей:

Аналогично,

RABK =

sin РI1DI2 =

1 . 2

AB 3 = = 3, 2sin РAKB 2sin 30o
BC 1 1 = = o 2sin РBKC 2sin 60 3

Вписанные углы I1 AI2 и I1DI2 острые, так как каждый из

RBCK =


46
и выразим через них искомую длину BK = x:
мx = 2 3 sin п п м x = 2 RABK sin п п п п Ын н п x = 2 RBCK sin ч п x = 2 cos , п о п п 3 о п откуда ctg = 3 , и

КВАНT$ 2002/?5

AD Ч CE = DC Ч AE . Найдите площадь четырехугольника ABCD. Решение. Конфигурация этой задачи (рис.10) напоминает предыдущую. Из условия имеем AD AE = . DC CE
В треугольнике ADC отрезок DE рассекает противоположную сторону АС на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Значит, DE биссектриса в 8 ADC . Докажем это. Пусть биссектриса DE1 не совпадает с DE. Тогда по свойству биссектрисы AD AE1 AE1 AE = = , или , DC CE1 CE1 CE но это значит, что точки E1 и Е совпадают. Итак, BD биссектриса. Осталось воспользоваться результатом предыдущей задачи. Так как по условию BD = =l = 6, РADC = 2РADB = 2 Ч = , то искомая площадь 8 4 равна

sin =
Значит,

1 1 + ctg
1 = 10
2

=

1 . 10

x=2 3

6 5.

Задача 7. Биссектриса DE треугольника ADC продлена до пересечения с описан* ной окружностью в точке В. а) Известно, что BD = =l и РADC = . Найдите + площадь четырехугольни) ка ABCD. б) Известны длины отрезков DE = m и + BE = n, на которые отре зок BD рассекается другой диагональю АС. Найдите длины отрезков АВ и ВС. , Решение. а) Для искомой площади S имеем Рис. 9 (рис.9)

S=

1 1 BD2 sin РADC = Ч 62 Ч sin = 9 2 . 2 2 4

S=

1 BD Ч AC Ч sin РDEC = 2
=

1 BD Ч 2R sin РADC Ч sin РDEC . 2

Из 8 ADE и 8 ABE ясно, что

РDEC = +

= РDAB , где =РDAE , 2 1И =РADE =РCDE =РBAE = BC . 2 2


Задача 9 (МГУ, мехмат, 1997). В окружности проведены хорды АС и BD, пересека+ 6 ющиеся в точке Е, причем касательная к окружносO !O ти, проходящая через точ , ку С, параллельна BD. Из- * вестно, что AB : BE = = 3 : 1 и S8 ADC = 18 . Найдите площадь треугольни ка CDE. Решение. Задача сводится к нахождению отноше) ния CE : AC. Действительно, высота hD , проведенная из вершины D, являет- Рис. 11 ся общей для треугольников CDE и ADC (рис.11). Поэтому
1 CE Ч hD S8CED CE =2 = S8 ADC AC . 1 AC Ч hD 2 BC = DC . Обозначим РCBD = РCDB = . По теореме о вписанном угле,
И

Поэтому

S=

1 BD 2R sin РDEC sin РADC = 2 1 = BD 2R sin РDAB sin РADC = 2 1 1 = BD Ч BD Ч sin РADC = l2 sin . 2 2

Касательная CT параллельна BD. Поэтому BC = DC,
И

б) Ответ вытекает из подобия 8 ABE и 8DBA (по двум углам): * AB BE = Ю AB2 = BD AB

РBAC = РDAC =

1И BC = РBDC = , 2 1И CD = РCBD = , 2

)

-

+

= BD Ч BE Ю AB = = BC = m + n n .
Задача 8 (МГУ, мехмат, 1997). Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, при чем РADB = , BD = 6 и 8

,
Рис. 10

т.е. хорда АС является биссектрисой угла BAD. Имеем стандартную конфигурацию: биссектриса АЕ в 8 ABD продолжена до пересечения с описанной (около 8 ABD ) окружностью, т.е. во вписанном четырехугольнике ABCD диагональ АС является биссектрисой угла. Рассмотрим две пары подобных треугольников. Во-первых, 8BAE ' 8CDE по двум углам: РBAE = РCDE = , РBEA = РDEC . Поэтому BE : BA = CE : CD = 1 : 3. Пусть СЕ = у, тогда CD = 3y. Кроме того, 8CDE ' 8CAD по двум углам: РCDE = РCAD = , а угол при вершине С общий.


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

47

Поэтому

б) Из подобия V AA2 B и V ACA1 имеем

3 y CE CD CD = Ю AC = = = 9y . CD AC CE y
2

2

AA2 AB l +x c 2 = Ыa = Ю la + la x = bc , AC AA1 b la

Значит,
CE y 1 = =, AC 9y 9

откуда, с учетом ( * ), находим
2 la = bc - mn .

и искомая площадь равна

SVCDE =
Упражнение 12. пересекающиеся в проходящая через CD : ED = 3 : 2, АВС.

CE ЧS AC V

AD C

=

1 Ч 18 = 2 . 9

В окружности проведены хорды АС и BD, точке Е, причем касательная к окружности, точку А, параллельна BD. Известно, что SV ABE = 8 . Найдите площадь треугольника

Задача 10. Биссектриса AA1 треугольника АВС продлена до пересечения в точке A2 с описанной окружностью (рис.12). а) Докажите, A что


c



РAA1C = РABA2 , b РAA1B = РACA2 .

б) Докажите, что 2 la = bc - mn , где la C биссектриса угла А, АС = m B n A = b, AB = c, AC = m , 1 AB = n . 1 Решение. а) В точке A1 пересекаются хорды AA2 A и ВС. С учетом теоремы о Рис. 12 вписанном угле имеем две пары подобных треугольников (по двум углам) это треугольники AA1B и CA1 A2 , а также AA1C и BA1 A2 . Каждое из указанных подобий дает известное свойство отрезков хорд: AA1 Ч A1 A2 = BA1 Ч A1C , откуда
la x = mn ,

(* )

Мы получили важную формулу, позволяющую в некоторых случаях вычислять биссектрису угла треугольника. Задача 11. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, АВ = AD, CА биссектриса угла o С, РBAD = 140 , РBEA = 110o . Найдите угол CDB. Решение. Мы уже встречались со стандартным построением продолжением биссектрисы треугольника до пересечения с описанной окружностью. В полученном при этом вписанном четырехугольнике (например, четырехугольнике BCDA ) оказываются равными две вновь полученные стороны (ВА = DA, так как по теореме о вписанном угле + 1 РDBA = РBDA = РBCD ). 2 В данной задаче ситуация обратная. Известно (рис.13), что отрезок СЕ биссектриса * , угла С в VBCD ; биссектриса СЕ продолжена так, что в четырехугольнике BCDA равны стороны ВА и DA (по усло) вию). Докажем, что четыре- Рис. 13 хугольник BCDA является вписанным. Достаточно убедиться, что описанная около VBCD окружность пройдет через точку А. Действительно, так как ВА = AD, то РDBA = РBDA . Поэтому середина дуги BmD , как и точка А, лежит на биссектрисе угла BCD и на серединном перпендикуляре к хорде BD. Значит, точка А совпадает с серединой дуги BmD , и четырехугольник BCDA является вписанным. Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180њ. Поэтому
РBCD = 180o - 140o = 40o , РABD = РACD = 1 1 РBC D = Ч 40o = 20o , 2 2

где x = A1 A2 . Поскольку

РBAA2 = РCAA2 = РCBA2 = РBCA2 =
где =РBAC , получаем, что
V AA2 B ' V ACA1 ' V BA2 A1 ,

, 2

РCDB = РCAB = РEAB =
o o = 180o - РABD + РBEA = 180 - 20 + 110



o



= 50o .

а также
V AA2C ' V ABA1 ' VC A2 A1 .

Упражнения 13. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, АВ = ВС, DB биссектриса угла D, РABC = 100o , РBEA = 70o . Найдите угол CAD. 14 (МГУ, геогр. ф-т, 1994). В треугольнике KMN проведены высота NA, биссектриса NB и медиана NC, которые делят угол KNM на четыре равные части. Найдите высоту NA, биссектрису NB и медиану NC, если радиус описанной около треугольника KMN окружности равен R. 15. Найдите углы треугольника АВС, если его высота и медиана, проведенные из вершины С, делят угол АСВ на 3 равные части.

Из доказанных подобий следует, что, например,
РAA1C = РABA2 .

Иначе равенство этих же углов можно доказать непосредственно вычислением: РAA1C = + как внешний угол для V ABA1 , 2 РABA2 = + как угол в V ABA2 . 2 Значит,
РAA1C = РABA2 .

Аналогичными способами можно доказать равенство
РAA1B = РACA2 .