Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/kv0502balash.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:02 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:34:30 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 5

Целочисленные треугольники
Э.БАЛАШ
такие треугольники, длины сторон которых выражаются натуральными числами. Хорошо изучены целочисленные прямоугольные треугольники. Длины их сторон а, b, с представляются так называемыми пифагоровыми тройками чисел (а, b, с):

'КВАНТ'

ДЛЯ

'МЛАДШИХ'

ШКОЛЬНИКОВ

25

В

ДАННОЙ ЗАМЕТКЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НАЗЫВАЮТСЯ

a = l m2 - n b = 2lm; c = l m2 + n

( (

2

) )

; .

2

Здесь l, m, n произвольные натуральные числа такие, что m > n. Выражения для а и b можно переставлять местами. Нас будут интересовать целочисленные треугольники с длинами сторон а, b, с, содержащие углы 60 или 120 градусов. Условимся всегда считать сторону с противолежащей углу, кратному 60њ. Целочисленные треугольники с углом 120њ Если треугольник имеет угол 120њ, то его стороны а, b, с связаны равенством a 2 + ab + b 2 = c 2 . (1) Это следует из теоремы косинусов, согласно которой для произвольного треугольника с длинами сторон а, b, с и углом , противолежащим стороне с, выполняется равенство a 2 - 2ab cos + b 2 = c 2 . Наоборот, если стороны треугольника а, b, с связаны соотношением (1), то сторона с лежит против угла 120њ. Действительно, в этом случае косинус угла , противолежащего стороне с, согласно (1) и теореме косинусов 1 равняется - , что возможно лишь в том случае, если 2 = 120o . Равенство (1) позволяет 'забыть' о геометрии: задачу поиска целочисленных треугольников с углом 120њ мы свели к задаче решения уравнения (1) в натуральных числах. На поиске решений в натуральных числах уравнения (1) мы сейчас и сосредоточим свои усилия. Прежде всего заметим, что если какая-то тройка натуральных чисел (а, b, с) удовлетворяет уравнению (1), причем у чисел а и b имеется общий делитель d, то на d будет делиться также и число с. Это наблюдение позволяет ограничиться поиском лишь таких решений (а, b, с), у которых числа а и b взаимно просты. Все другие решения будут отличаться от найденных натуральным множителем. В дальнейшем мы будем предполагать числа а и b взаимно простыми, не оговаривая это особо. Сначала докажем вспомогательное утверждение.
7 Квант ? 5

Пусть натуральные числа а, b, с связаны соотношением (1), тогда с не делится на 3, а из двух чисел c + a - b и c + b - a одно делится на 3, а другое не делится. Действительно, из равенства (1) следует, что 2 c - a 2 - b 2 = 3ab . Если с делится на 3, то а b делится на 3. Но квадраты чисел, делящихся на 3, делятся на 9. Левая часть выписанного равенства делится на 9, значит, и 3ab тоже делится на 9. Тогда аb делится на 3, т.е. одно из чисел а или b делится на 3. Но тогда и другое из этих чисел делится на 3, поскольку а b делится на 3. А это невозможно, поскольку числа а и b взаимно просты. Полученное противоречие говорит о том, что исходное допущение неверно. Итак, число с не делится на 3. Далее, из равенства (с + а b)(c + b а) = 3ab следует, что одно из чисел с + а b или с + b а делится на 3. Оба они не могут делиться на 3, поскольку в противном случае их сумма делилась бы на 3, что невозможно. Теорема. Пусть числа а, Ь, с связаны соотношением (1). Тогда найдутся натуральные взаимно простые числа n и m (n > m) такие, что n m не делится на 3 и 2 a = n 2 - m 2 , b = m + 2mn , c = m 2 + mn + n 2 (2). Доказательство. Будем полагать, что с + а b не делится на 3. Этого всегда можно добиться выбором обозначений, поскольку в выражение a 2 + ab + b 2 переменные а и b входят симметрично. Введем вспоb могательный параметр k = . Так как а, b и с c +a m целые числа, то k рациональное число. Пусть k = , n m будем предполагать несократимой. Так где дробь n 2 как ab + b = c 2 - a 2 , то b (a + b ) = (c - a ) (c + a ) . Заменим везде b на k (c + a ) : k (c + a ) (a + kc + ka ) = = (c - a ) (c + a ) . Так как c + a 0 , то на с + а можно сократить: 2 2 ka + k 2c + k 2a = c - a , откуда k + k + 1 a = 1 - k c a 1-k2 и =2 . Прибавим к обеим частям последнего c k +k +1 a +c k +2 равенства по единице: c = 2 . Теперь умноk +k +1 k (a + c ) = жим обе части последнего равенства на k: c 2 2 k + 2k b k + 2k =2 . Но k (a + c ) = b , поэтому c = 2 . k +k +1 k +k +1 m Заменим везде k на . После упрощений получим n a n 2 - m2 b m 2 + 2nm =2 =2 , 2, c c m + mn + n m + mn + n 2

(

)

(

)

(

)

a n2 - m2 =2 . b m + 2mn


26
Докажем, что дробь

КВАНT 2002/?5

n -m несократима. m + mn Предположим, что оба числа n - m и m (m + n ) делятся на некоторое простое число р. Рассмотрим множители второго числа. Если m делится на р, то n на р не делится в силу взаимной простоты чисел m и n. Но тогда n - m на р не делится, чего не может быть. Следовательно, на р делится число m + 2n, а число m не делится. В этом случае на р будет делиться " n (m + n ) - n - m

(

(

))

делимости на 3 разности n - m следует, что и m должно делиться на 3, что невозможно. Итак, дробь n -m a несократима. В силу взаимной просто= b m + mn ты чисел а и b отсюда заключаем, что a = n - m , b = m + mn и, следовательно, c = m + mn + n . Теорема доказана. Заметим, что соотношения (2) были известны уже Диофанту (ок. 250 г.).
Упражнение 1. Докажите, что для любых натуральных m и n (n > m) числа а, b, с, рассчитанные по формулам (2), удовлетворяют равенству (1).

- (m + n ) = !m .

Так как m не делится на р, то на р делится 3. Итак, число p может быть только тройкой: р = 3. В самом начале доказательства мы предположили, m b = что с + а b не делится на 3. Поскольку , то n c +a m b = ; отсюда заключаем, что n m не n -m c +a -b делится на 3. Но по нашему предположению n - m = (n - m ) (n + m ) делится на 3, поэтому на 3 делится число n + m, а значит, и число m (n + m ) = mn + m = m + mn - mn . Поскольку по предположению число m + mn делится на 3, отсюда следует, что mn делится на 3, т.е. n делится на 3. Из

Целочисленные треугольники с углом 60њ Длины сторон а, Ь, с треугольников с углом 60њ удовлетворяют уравнению
a - ab + b = c ,
(3)

(

)

получающегося из тех же соображений, что и уравнение (1). Здесь также можно искать натуральные решения уравнения (3), развивая соответствующую теорию. Однако мы поступим более хитрым образом. На сей раз алгебре будет помогать геометрия. Оказывается, всякий треугольник с углом 60њ родственен некоторому треугольнику с углом 120њ! Вот как устанавливаются эти 'родственные узы'. Вначале заметим, что если к углу 60њ в треугольнике примыкают две равные стороны а = b, то в соответствии с (3) получаем а = Ь = с. Итак, уравнение (3) допускает тривиальное решение а = ? = = =b = с = n, где n любое натуральное чис$ ло. Пусть теперь к углу 60њ в треугольнике при= >`= мыкают две различающиеся по длине стороны. Без ограничения общности будем полагать b > а. Выделив внутри данного треугольника правильный треугольник с длиной стороны а, получим дополнительный к нему треугольник с длинами сторон а, b а, с и углом 120њ (см. рисунок). Про этот дополнительный треугольник ('родственный' исходному) мы уже все знаем. Осталось только применить разработанную выше теорию к дополнительному треугольнику с углом 120њ, а затем распространить результат на исходный треугольник.
Упражнение 2. Докажите, что если а, b, с длины сторон целочисленного треугольника с углом 60њ, причем b > а, то найдутся такие натуральные m и n, что
a = n - m , b = n + m n , c = m + mn + n .

При этом n m не делится на 3.