Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/kv0502rishik.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:02 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:34:24 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 13

Кинематика в планиметрии
КИНЕМАТИКА В ПЛАНИМЕТРИИ

7

В.РЫЖИК, Б.СОТНИЧЕНКО

ких задач можно встретить задачи такого рода: берется некий треугольник (четырехугольник) и на его сторонах строятся какие-либо треугольники (четырехугольники). Оказывается, что полученная конфигурация обладает особыми свойствами, каковые и предлагается обнаружить. Методы решения этих задач чаще всего вполне стандартные. Но бывает, что используют векторы или преобразования. Мы хотим показать еще один способ решения задач такого типа. Основан он будет на векторах, но только рассматриваться эти векторы будут с кинематической точки зрения, как радиусывекторы какой-то движущейся точки.1 При этом мы опишем достаточно общий метод получения результатов. Да и сами результаты будут обладать некоторой степенью общности. Для понимания дальнейшего необходимы некоторые сведения о векторах на плоскости. Кроме хорошо известных линейных операций с векторами сложения и умножения на число, нам понадобится еще одна линейная операция поворот вектора r на заданный угол. Если вектор a поворачивается на угол , то в результате получается вектор, который r мы будем обозначать так: a . При этом угол может быть положительным при повороте против часовой стрелки и отрицательным при повороте по часовой стрелке. Свойства этой операции таковы:
r a. r , a = r = a r = a Свойства 3 o и 4 o

В

САМЫХ РАЗНЫХ СБОРНИКАХ ГЕОМЕТРИЧЕС-

r rr r uuuuuu 8 o. Если r = const , то V = 0 .

r r r rrr 9 o. Если r = r1 + r2 , то V = V1 + V2 . r r r r 11 o. Если r2 = r1 , то V2 = V1 . r r rr 13 o. Если r2 = r1 , то V2 = V1 . r r r
r

r r r r r r r uuuuuu 10 o. Если V = V1 + V2 , то r = r1 + r2 + const . r r r r r uuuuuu 12 o. Если V2 = V1 , то r2 = r1 + const .
uuuuuu r

1o. 2o. 3o. 4o.

r a = r0 r a =a rr a+b r ( a )

(

)

()

rr -a , a r + b .

2

r =a. -

.

5o. ( a ) = a + . Иначе говоря, если мы сначала поворачиваем вектор на угол , а потом на угол , то это означает, что мы повернули его на угол + .


рота вектора.
r r

означают линейность операции пово-

6o. a + = a+ . Иначе говоря, поворот вектора на суммарный угол можно выполнять в любом порядке результат не изменится.
r
-

r

r

14 o. Если V2 = V1 , то r2 = r1 + const . Доказательства равенств 1 o14 o приведены в упомянутой выше книге. По сути своей равенства 8 o14 o сводятся к дифференцированию и интегрированию вектора-функции. Заметим, что постоянный вектор в равенствах 10 o, 12 o, 14 o зависит от выбора начала радиусов-векторов. Это значит, что при разных началах радиусов-векторов константа меняется. В остальных равенствах выбор начала не имеет значения, т.е. если равенство верно при выборе начала в какой-то точке, то оно верно и тогда, когда начало выбрано в любой другой точке. M Заметим также, что хотя для задания поR R ложения движущейr r ся точки радиусомвектором начало его может быть выбрано O O произвольно, для задания ее скорости это Рис. 1 не существенно. В самом деле, посмотрим на рисунок 1. На нем изображена движущаяся точка М, а также два ее радиуса-вектора uuuuur r u с началами в разных точках O1 и O2 : OM = r1 , uuuuuu 1 r r uuuuuu r r r O2 M = r2 . Из рисунка видно, что r2 = O2O1 + r1 , где uuuuuu r вектор O2O1 является постоянным. Дифференцируя это равенство по времени, мы получим, что производr r ные радиусов-векторов r1 и r2 равны. Это и будет скорость точки М.
Кинематика в треугольнике

7 o. ( a ) = a . r r Переходим теперь к кинематическим фактам. Пусть r радиус-вектор движущейся точки, а V ее скорость. Тогда справедливы следующие утверждения:
r

1 Необходимая теория для использования этого метода подробно описана в книге: Ю.И.Любич, Л.А.Шор. 'Кинематический метод в геометрических задачах' (М.: Наука, 1976). Из этой же книги взяты некоторые приведенные дальше задачи.
2*

Теперь покажем, как работает векторно-кинематическая техника, на частном примере, при решении такой задачи. (В дальнейшем ориентация вершин треугольников и четырехугольников против часовой стрелки.) Задача 1. На сторонах АС и ВС треугольника АВС во внешнюю от треугольника сторону построены квадраты (рис.2). Точки N и М центры этих квадратов, а точка K середина стороны АВ. Докажите, что треугольник NKM равнобедренный прямоугольный с прямым углом при вершине K.



КИНЕМАТИКА

В

ПЛАНИМЕТРИИ

9

C N



C

M B

A
Рис. 2

K

Решение. Заметим, что в результате повоuuuu r рота вектора AC на 45њ вокруг точки А точка С переходит в точку C1 , лежащую на диагонали квадрата, построенного на стоuuuuu uuuu 45o r r роне АС: AC1 = AC . В результате поворота вектора длина его не меняется, а потому
1 2

1 , то AN = ACl 2 uuuu r r r 1 uuuuu 1 uuuu 45o AC1 = AC . да имеем, что AN = 2 2 uuuuu r u 1 uuuur Аналогично получаем, что BM = BC1 = 2
AC1 = AC. Так как AN = AC

. Отсю-

Начнем двигать точку С по плоскости, оставив сторону АВ неподвижной. Проследим, что будет происходить при этом с центрами построенных квадратов точками N и М. В процессе движения точки С (согласно 13 o) будет выполняться равенство
r 1 r 45o VN = V. 2C

r 1 uuuu BC 2

45

.

будем называть ее поC люсом) для начала радиусов-векторов (такой точкой оказалась L точка K). Перейдем теперь к решению более общей K задачи. Задача 2 (теорети ческая). Пусть нам дан треугольник АВС, A B АВ = с. Пусть отреРис. 4 зок A L расположен так, что LAC = и AL : AC = m, а отрезок BK так, что KBC = и BK : BC = n (рис.4). (На этом рисунке углы , положительны для определенности, на самом деле это не принципиально.) Пусть точкаu O1 произвольuuu r r uuuuu r r ная точка плоскости. Обозначим OL = rL , OK = rK . 1 r r1 Требуется найти соотношение между rL и rK через r r m, n, , , точнее, выразить rL через rK и эти параметры. uuuu r uuur Решение. Вектор AL является образом вектора AC r в результате поворота его на угол и умножения на число m. Таким образом,
uuur uuuu r AL = m AC . uuuu r uuuu r BK = nBC .

(1)

(2)

(В последнем равенстве радиусы-векторы имеют начало в точке А.) Аналогичными рассуждениями, взяв начало в точке В, получаем, что VM =
r

Аналогично,

r r 1 r -45o 45 VC , откуда VC = 2VM . M 2 r Подставив полученное выражение для вектора VC в равенство (1 ), выводим (используя 5 o), что

(3) Теперь закрепим вершины А, В треугольника АВС и r будем двигать точку С r со скоростью VC . Скорости r точек K и L обозначим VK , VL соответственно. Из (2) и (3) получаем такие равенства:
r r VL = mVC , r r VK = nVC .

(4) (5) (6)

Иллюстрация П.Чернуского

Из этого равенства следует (согласно 14 o), что r r r r 90o rN = rM + R , где R некоторый постоянный вектор, т.е. вектор, который не меняется при движении точки С. Поэтому, если при некотором положении точки С rr rr окажется, что R = 0 , то R = 0 и при любом другом r r 90o положении точки С, а тогда rN = rM также при любом положении точки С. Поместим точку С в положение, когда C она является вершиN M ной равнобедренного прямоугольного треугольника ВСА (рис.3). Тогда, очеK B A видно, центры квадРис. 3 ратов точки М и N и середина отрезка АВ точка K являются вершинами равнобедренного прямоугольного треугольr r 90o ника NKM, т.е. rN = rM (если за начало радиусоввекторов принять точку K). rСледовательно, в этом r положении точки С имеем R = 0 , а по сказанному rr выше R = 0 при любом положении точки С. Но тогда треугольник NKM равнобедренный прямоугольный также при любом положении точки С. Прежде чем двинуться дальше, отметим, что важную роль здесь сыграло нахождение 'хорошей точки' (мы
3 Квант ?5

r 1 VN = 2

(

r 45o 2VM

)

45o

r9 o = VM0 .

Из (5) получим, что

получим

r Подставим полученное в (6) значение для VC в (4) и
r r m r 1 r- VL = mVC = m VK = VK n n -

r 1 r - VC = VK . n

.

(7)

Переходя к соотношению между радиусами-векторами, получим (используя 14 o )
r m r - r rL = rK + R . n

(8)

Тем самым мы решили поставленную задачу нашли r r соотношение между векторами rL и rK . Так как постоr янный вектор r R зависит от выбора начала радиусовr векторов rL , rK , то попытаемся подходящим выбором начала обратить этот вектор в нулевой. Тогда, если удастся найти такую 'хорошую точку', формула (8) примет вид
r m r - rL = rK . n

Иначе говоря, если нам удастся обратить постоянный r вектор R в нулевой (за счет выбора начала радиусоввекторов в некоторой точке Р, которую мы будем называть полюсом), то в любой момент времени, т.е. при любом положении точки С, отрезок KL будет виден из полюса Р под углом - , а отрезки PL и PK


10
C

КВАНT 2002/?5

будут относиться как m : n, т.е.
PL : PK = m : n.

L

= K B

Можно даже записать точнее (рис.5):
uuu m uuuu r r PL = PK n
-

2 точка Р лежит на отрезке KL. Проиллюстрируем случаи 1,б и 2 на конкретных задачах. Случай - = 0o ; m n . Так как угол между отрезками PK и PL в этом случае равен 0њ, то треугольник PLK вырождается в отрезок. По формуле (10) получаем
PK = KL m 1- n

. (9)

(или PL =

Задача сводится к нахождению полюса Р, т.е. к однозначному определению его P Рис. 5 положения относиL тельно неподвижного (в процессе движения точки С) отрезка АВ. Для этого будем искать определяющий момент времени. В чаA B(C,K) стности, такой момент наступит тогда, когда P точка С совпадет с точкой В или с точкой А. Рис. 6 Докажем это. Рассмотрим случай (рис.6), когда точка С совпадает с точкой В. Тогда и точка K совпадает с точкой В. (Иначе говоря, треугольник BCK вырождается в точку.) Сначала заметим, что из равенства (9) для вектоuuuu r uuur ров PL и PK следует, что
A PL = m PK . n

m PK ). n

Далее, по теореме косинусов из треугольника KLA находим
KL = c 1 + m 2 - 2m cos .

Теперь можем найти отрезки РK и PL. Сначала по теореме косинусов из треугольника PKL находим
m m KL = PK 1 + - 2 cos ( - ) , n n
2

откуда
PK =
2

KL m m 1 + - 2 cos ( - n n KL

.

(10)

)
.

Тогда
PL = m PK = n n n m + 1 - 2 m cos ( -
2

)

В результате найдены три стороны в треугольнике PKL, и тем самым положение полюса Р можно установить. Но по трем сторонам можно построить два треугольника, поэтому надо следить за соответствуюuuur uuuu r щей ориентацией угла между векторами PK и PL она должна соответствовать знаку разности - . Выделим из общего решения три частных случая: 1) - = 0o : а) m = n; б) m n ; 2) - = 180o . Случай 1,а) несколько особый, мыr рассмотрим его uuu uuuu r позже. В случаях 1,б и 2 векторы PL и PK коллинеарны, причем в случае 1,б они сонаправлены, а в случае 2 противоположно направлены. Отсюда следует, что в случае 1,б точка Р лежит вне отрезка KL, а в случае

В этом случае полюс Р лежит на прямой KL вне отрезка KL. Положение точки Р относительно точек K, L зависит от величины m/n и устанавливается однозначно. В дальнейшем мы постоянно используем результаты и обозначения этой задачи ( , , P ). Задача 3. На сторонах треугольника АВС построены прямоугольные треугольники CLA и BCK с острыми углами и (рис.7). Точка Q лежит на прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой АВ. При этом AQ = AB tg . Докажите, что точки Q, L, K леQ (P ) жат на одной прямой и 2 QL : QK = cos . Решение. В этой задаче - = 0o , m = cos , n = 1 cos ( m n ). Значит, полюс Р, точки L и K L лежат на одной прямой и при этом PL : PK = m : n = = cos2 . Осталось докаC K зать, что полюс Р совпадает с точкой Q. Для этого воспользуемся обоими определяющими положе ниями точки С. Сначала совместим точку С с точкой А (рис.8). Новое поB ложение точки С C1 и A новое положение точки Рис. 7 L L1 совпадут с точкой А, а точка K займет положение K1 (треугольник ACL вырождается в точку). В этом случае полюс Р лежит на одной пряP мой с точками L1 , K1 , в данной ситуации на перпендикуляре к АВ, проходящем через точку А. L Затем совместим точку С с точкой В. Тог да новое положение B (C , K ) точки С C2 и A(C,L) новое положение точки K K2 совпадут K с точкой В, а точка L Рис. 8 займет положение L2 (треугольник BCK вырождается в точку). В этом случае полюс Р лежит на одной прямой с точками L2 , K2 . Оказывается, что полюс Р является точкой пересечения прямых K1L1 и K2L2 , т.е. точкой Q. Отсюда и следует, что AQ = AB tg . (Вместо того, чтобы брать два определяющих момента, можно взять только один из них и использовать отношение m : n.)


КИНЕМАТИКА

В

ПЛАНИМЕТРИИ

11

Случай
o

- =

=180 . В этом случае треугольник PLK вырождается в C отрезок, и искомый полюс Р лежит внутQ ри отрезка LK и делит его в отношении K m : n. A DB Задача 4. На стоРис. 9 ронах треугольника АВС построены квадраты (рис.9). Точка L вершина одного квадрата, а точка K середина стороны другого. Точка Q вершина равнобедренного прямоугольного треугольника QDB, катеты которого BD = = DQ = (1/3)AB. Докажите, что точки L, Q и K лежат на одной прямой и точка Q делит отрезок LK в отношении 2 : 1. Решение. Здесь = 90o , = -90o , m = 1, n = 1/2. Поскольку в этой задаче - = 180o и m/n = 2, то искомый полюс Р лежит на отрезке LK и делит его в отношении 2 : 1. Осталось только доказать, что полюс находится в точке Q, L которая указана в условии задачи. Совместим точку С с точкой В (рис.10). Квадрат, построенный на стоP роне ВС, вырождается в точку. Полюс Р должен лежать на диагонаBC,K ли LB квадрата, построA енного на стороне АВ, и Рис. 10 делить LB в отношении 2 : 1, т.е. PB = 0,5PL = (1/3)BL. Отсюда BD = = (1/3)AB, а точки Р и Q совпадают. Общий случай. Рассмотрим теперь решение конкретной задачи в общем случае, когда и m n . Задача 5. На сторонах АС и ВС треугольника АВС построены прямоугольные треугольники CLA и BKC с острым углом L 30њ (рис.11). Точка Q делит отрезок C АВ в отношении AQ : QB = 3 : 1. Докажите, что треуK гольник LQK прямо! угольный. $ Решение. Здесь A B Q мы имеем такие соРис. 11 отношения: = 30o , o = -60o , - = 90 , o o m = AL AC = cos 30 = 3 2 , n = BK BC = cos 60 = 1/2, m n = 3 . Найдем полюс Р в этом случае. Совместим точку С с точкой В. При этом треугольник BKC выродится в точку, треугольник CLA займет положение, показанное на L рисунке 12. В данном случае, поскольку - = 90o и m n = 3 , полюс Р является верши! $ BC,K ной прямого угла A Q прямоугольного Рис. 12
L
3*

треугольника с гипотенузой BL и отношением катетов PL : PK = m n = 3 . Легко проверить, что точка Q, заданная в условии задачи, отвечает этим требованиям. Тем самым получается, что полюс Р совпадает с точкой Q. Отсюда и следует, что треугольник LQK прямоугольный. В самом общем случае отыскание полюса Р сводится к задаче нахождения точки пересечения двух окружностей (или двух дуг окружностей). Одна из них множество точек, из которых отрезок KL виден под углом - . Другая множество точек, для которых отношение расстояний до двух данных точек K, L постоянно и равно m/n, это окружность Аполлония. Теперь ясно, что возможны и другие специальные случаи, отличные от вышеприведенных трех. Например, при m = n окружность Аполлония заменяется на серединный перпендикуляр отрезка KL, а при - = 90o полюс Р лежит на окружности с диаметром KL. Из этих рассуждений ясно, что полюс существует всегда, за исключением единственного случая, когда - = 0o и m = n. Можно сказать, что здесь полюс 'уходит в бесконечность'. В этом случае можно воспользоваться формулой (8), r r r r r r которая примет вид rL = rK + R , или rL - rK = R , что uuuu r r равносильно равенству KL = R (в таком случае говорят, что отрезок KL движется поступательно). Последuuuu r нее равенство означает, что вектор KL не зависит от положения точки С. Задача 6. На сторонах треугольника АВС построены прямоугольные треугольники CLA и CKB с острыми углами и L (рис.13). Докажите, что KL = AB cos и KL C образует с прямой АВ угол . Решение. В этой заK даче - = 0o , m = n = uuuu r r = cos , т.е. KL = R . В A B качестве определяюще- Рис. 13 го положения точки С выберем такое, когда она совмещена с точкой В. Тогда и точка K совпадет с точкой В (треугольник BCK вырождается в точку). При этом KL = AB cos и образует с прямой АВ L угол , что и требовалось доказать (рис.14). Из разобранных задач ясно, BC,K что главный мо- A мент решения Рис. 14 нахождение полюса относительно заданного в условии треугольника. Более того, становится ясно, как составлять задачи такого рода. Можно взять треугольник, два 'хороших' угла и (например такие, чтобы их разность была 0њ, 90њ или 180њ), два удобных числа, найти при этих данных полюс. Затем указать три точки, соответствующие выбранным углам, числам и полюсу. И сформулировать задачу о взаимном положении полученных трех точек. Попробуйте! (Напоминаем, что ориентация вершин треугольников и четырехугольников против часовой стрелки.


12

КВАНT 2002/?5

Кроме того, вершина прямого угла треугольника в обозначении треугольника записывается посередине.)
Упражнения 1. На сторонах АС и ВС треугольника АВС построены равнобедренные треугольники ALC (AL = CL) и BKC (BK = = KC) с углом 30њ при основании. Докажите, что KL = . 3 Найдите угол между прямыми KL и АВ. 2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABQ (АВ = =BQ), BKC (BK = KC) и LCA (CA = CL). Докажите, что точки Q, K, L лежат на одной прямой и точка K делит отрезок QL пополам. 3. На стороне АС треугольника АВС построен равнобедренный треугольник ACL (AL = CL) с углами при основании, равными 30њ, а на стороне ВС прямоугольный треугольник KCB с прямым углом при вершине С и углом 30њ при вершине В. Точка Q делит сторону АВ в отношении AQ : QB = 1 : 2. Докажите, что треугольник KLQ прямоугольный с прямым углом при вершине L и углом 60њ при вершине Q. 4. На сторонах АВ и АС треугольника АВС построены равнобедренные прямоугольные треугольники АВQ и LAC с прямыми углами при вершинах В и А соответственно. Точка K лежит на продолжении стороны ВС (BK = BC). Докажите, что треугольник KQL прямоугольный равнобедренный с прямым углом при вершине Q. Кинематика в четырехугольнике
AB

Найдем положение SC K L D этой точки Р. В качестве определяющего M возьмем такое положеB ние основания СD, при A котором отрезки KC, CD, DL окажутся на Q одной прямой KL, их Рис. 16 объединение будет отрезком KL, равным и параллельным АВ, и четырехугольник ABKL будет прямоугольником (рис.16). При этом окажется это легко показать, что
LA = KB =

как указано в условии задачи, и продлить отрезок QМ до пересечения его с KL в точке S, то, очевидно, получим, что QS = 2QM = SL = SK и SQ KL . Последнее означает, что треугольники QSL и KSQ равные между собой, прямоугольные и равнобедренные. Отсюда заключаем, что LQK = 90o и QK = QL. Сравнивая последние равенства с равенством (11), мы видим, что точки Р и Q совпадают. Следовательно, это выполняется и в любом другом положении.
Упражнения 5. В четырехугольнике ABCD сторона CD вдвое меньше стороны АВ и образует с ней угол 60њ. На сторонах ВС и AD построены равнобедренные треугольники BKC (BK = KC) и ADL (LA = LD) с углами 30њ при основании, а на стороне АВ прямоугольный треугольник AQB с углом 60њ при вершине А, углом 30њ при вершине В и прямым углом при вершине Q. Докажите, что треугольник QKL равносторонний. 6. В четырехугольнике АВСD сторона CD вдвое меньше стороны АВ и образует с ней угол 60њ. На сторонах ВС и AD построены подобные прямоугольные треугольники KCB и ADL с углами 30њ при вершинах В и А и прямыми углами при вершинах С и D. Докажите, что треугольник AKL равносторонний. 7. В трапеции ABCD основание CD вдвое меньше основания АВ. На ее боковых сторонах АD и BC построены равнобедренные прямоугольные треугольники ADL и BCK с гипотенузами AL и BK соответственно. Найдите отношение отрезков KL и АВ, а также угол между ними. Приращения и скорости

1 AB . Если теперь построить точку Q так, 4

Аналогичные соображения используются, когда исходной фигурой является четырехугольник. Посмотрим на решение такой задачи. Задача 7. В трапеции ABCD основание АВ в два раза больше основания CD (рис.15). На боковых сторонах трапеции D C вне трапеции построL K ены прямоугольные равнобедренные треугольники DLA и BKC. Из середины М осноM вания АВ проведен вне A B трапеции перпендикуляр MQ такой, что
Рис. 15

Q

MQ =

те, что отрезки QL и QK равны и взаимно перпендикулярны. Решение. Прежде всего из данных задачи заметим, что Теперь, не двигая основания АВ, будем поступательно перемещать основание CD. При таком перемещении
uuur r 1 uuuu AL = AD 2
45o

1 AB . Докажи4

и BK =

uuuu r

r 1 uuuu BC 2

45o

Теперь мы перейдем к получению новых, но вполне очевидных векторных соотношений. Пусть точки А и В движутся в плоскости таким образом, что все время выполняется равенство
r r VB = mVA ,

.

(12)

r r VD = V . Из этих соотношений получаем, ч то C r r 1 r 45o 1 r -45o 1 r -45o VL = VD , VK = VC VD . = Отсюда 2 2 2 r r r 45o VD = V = 2VK . Поэтому выполняется равенство C r r 90o VL = VK . Но тогда выполняется с оотношение r 90o r r rL = RK + R . Следовательно, существует такая точка rr Р, что R = 0 , т.е. uuur uuuu 90o r PL = PK . (11)

где m и постоянные. Из равенства (12) получаем интегрированием уравнение
r Постоянную R найдем из следующих начальных усло-

r r r rB = mrA + R .

(13)

вий: rпусть при t = 0 (в начальный момент rвремени) r r r r rA = rA0 и rB = rB0 . Подставляя значения rA0 и rB0 в (13), получим
rr r R = rB0 - mrA . 0

Тогда равенство (13) приводится к равенству
r r r r rB - rB0 = m rA - rA0

(

)



.

(14)


КИНЕМАТИКА

В

ПЛАНИМЕТРИИ

r r r r Но разности векторов rA - rA0 и rB - rB0 есть векторы

13
-45o

перемещений точек А и В:

Осталось воспользоваться формулами (16):
uuuuu r r r r 1 uuuu 45o uuuuuu 1 uuuu LL2 = DB , K1K2 = DB 1 2 2

r r r r r r rA - rA0 = rA , rB - rB0 = rB ,

, LL2 = K1K2 1

uuuuu r

uuuuuu r

90o

.

т.е. вместо (14) запишем равенство
r r rB = mrA .

(15)

Таким образом, мы доказали лемму: если при движении точек А и В в плоскости выполняется равенство (12) или (13) (включая случай, когда постоянный вектор является нулевым), то выполняется равенство (15). Теперь вернемся к равенствам (4), (5), (7). Из них, соответственно, следуют равенства
m r ( -) r r r r r . rL = mrC , rK = nrC , rL = rK n
(16)

Собственно говоря, равенства (4), (5), (7) являются частными случаями соответственных равенств (16), если положить начальные радиусы-векторы точек K, L, C равными нуль-вектору:
r r r r rC0 = rK0 = rL0 = 0 .

Последнее равенство показывает нам перпендикулярность прямых K1K2 и N LL2 и равенство от1 резков K1K2 и LL2 . 1 Задача 10. На сторонах AD, ВС и на D диагоналях АC, BD C параллелограмма L M ABCD построены равнобедренные прямоугольные треуA B гольники DLA, CMB, CNA, DKB соответственно (прямые K углы в точках L, Рис. 18 K, N, M). Докажите, что KMNL квадрат (рис.18). Решение. Рассмотрим треугольник DLA. В этом треугольнике выполняется равенство DL =
uuuu r

Перейдем к примерам использования полученных соотношений. Задача 8. Вернемся к задаче 6 и дадим ее решение в новой технике. Решение. Из треугольника ACL (см. рис.13) имеем равенство CL = cos CA , что соответствует (13) при rr оставлять точку С неподвижной, R = 0 . Поэтому, еслиuuuu r uuuu - r то, согласно лемме, rL = cos rA . Переместим точку uuuu uuuu r r А в точку В: rA = AB . При этом точка L переместится uuuu uuuu r r uuuu r uuur - u в точку K: rL = LK . Но тогда LK = cos AB , т.е. LK = AB cos и образует с АВ угол . Задача 9. На сторонах произвольного четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники DL1 A , CK1D , BL2 A , CK2B (рис.17). Требуется доказать, что отрезки K1K2 и LL2 взаимно перпен1 D L K дикулярны и равны. Решение. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треуL гольник DL1 A . Из него получаем A
uuu r

(

uuu r

-

)

Рассмотрим перемещение этого треугольника такое, при котором точка D остается неподвижной, а точка А перемещается в точку В. При таком перемещении точка uuur u uuuu r r r L попадет в точку K. При этом rA = AB , rL = LK . Тогда из леммы приходим к равенству
uuuu r r 1 uuuu LK = AB 2
-45o

r 1 uuuu DA 2

-45o

.

.

(

)

Точно так же, рассматривая треугольник АВС и построенные на его сторонах треугольники CNA и СМВ, мы получим, рассматривая аналогичное перемещение, что
uuuuu r r 1 uuuu NM = AB 2
-45o

.
uuuuu r

(17)
uuuu r

Из двух последних равенств мы видим, что NM = LK , поэтому KMNL параллелограмм. Аналогично можно доказать, что верно равенство Сравнивая полученные выражения для KM и LK, видим, что KM = LK, а потому KMNL ромб. И, наконец, KMNL квадрат. В самом деле, из равенства KM =
uuuuu r uuur u uuuuu -45o r AB = 2 KM . Подставим найденное значение для uuur u AB в равенство (17) и получим -45o uuuuu r r r uuuuu -90o r 1 uuuu -45o 1 uuuuu -45o = = KM NM = AB 2 KM . 2 2 u 1 uuur AB 2
45o

uuuuu uuuu r r r 1 uuuu KM = LN = DC 2

45o

=

r 1 uuuu AB 2

45o

(так как DC = AB ).

uuuu r

uuuu r

K B

C

L1 AD = = 45o , 1 AL1 : AD = m = . 2

мы получаем равенство

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник CK1D . Из него получаем
Рис. 17

KCD = = -45o , CK1 : CD = n = 1

1 2

.

Таким образом, m : n = 1, - = 90o . Переместим теперь точку D в точку В. Тогда точка L1 переместится в точку L2 , а точка K1 переместится в точку K2 . Отсюда векторы перемещений точек D, L1 и K1 равны
uuuuu r uuuuuu r uuuu r r r r rD = DB , rL1 = L1L2 , rK1 = K1K2 .
4 Квант ?5

Из этого равенства видим, что угол NMK прямой. Но тогда ромб KMNL является квадратом. В заключение можно заметить, что задача обобщается на произвольный четырехугольник. На двух его сторонах и диагоналях строятся соответствующим образом подобные треугольники и четыре их вершины оказываются вершинами параллелограмма. Рассмотренная идея решения имеет некую модификацию. Проиллюстрируем ее на такой задаче.


14
T D M

КВАНT 2002/?5

A

Рис. 19

M

Задача 11. Дан четырехугольник ABCD. На его сторонах как на гиC потенузах построены Q прямоугольные равнобедренные треугольники DMA, CTD, BQC, B ASB (рис.19). Докажите, что отрезки MQ и ST равны и взаимно перпендикулярны. Решение. Переместим S точку М в точку Q в два приема. Сначала переD C местим точку D в точку В, оставляя точку А неM подвижной. Тогда точка М займет некое положение M1 (рис.20). Поскольку при этом
1 и B m = AM : AD = 2 o = 45 , то uuuu 45o r uuuuuu u r r 1 1 uuuu 45o DB , т.е. MM1 = = DB . 2 2

6

D
+

C

,

T
6



A
*
Рис. 23

B

)
Рис. 22

S r

Складывая перемещения ( rT )1 и ( rT )2 , получим
uuu r r r TS = rT = ( rT

r

)1 + (

r rT

)2

uuur uuur = TT1 + T1S =
= uuu r

A
Рис. 20

Повернем теперь вектор TS на 90њ:
uuu r TS
90o

1 2

r uuuu - AC

45

o

uuuu r + DB

-45

o

.

(

r rM

)1

uuuuuu u r 1 r 45o = M M1 = rD 2

=

1 2

r r uuuu 135o uuuu + DB - AC
-45
o

45o

.
45o

Затем, не двигая точку В, совместим точку А с точкой С. При этом точка D M1 совместится с CA точкой Q (рис.21). Так как в этом случае m = BM1 : BA = M


Учитывая, что - AC
uuu r TS
90
o

uuuu r

135o

r ж uuuu 180o ц = з - AC ч и ш
r uuuu AC
-45
o

uuuu r = AC
o

, получим

=

1 2

uuuu r + DB

45

.

Q

A
Рис. 21

B

1 и = -45o , то 2 uuuuur u вектор MQ переме1 щения точки M1 свяuuuu r зан с вектором AC =

Сравнивая это выражение с (18), приходим к равенuuuuu uuu 90o r r ству MQ = TS . Из него и следует то, что требовалось доказать.
Упражнения
8. Дан четырехугольник ADCB. На его сторонах как на гипотенузах построены подобные прямоугольные треугольники ВМА, СТВ, DQC, ASD с углами при вершинах А, С и с углами при вершинах В и D. Докажите, что отрезки MQ и ST равны и угол между ними равен 2 ( 2 ). 9. Дан четырехугольник ADCB. На его сторонах как на гипотенузах построены прямоугольные равнобедренные треугольники AOB, BQC, CSD , DTA. Докажите, что если вершины О и S совпадают, то совпадают вершины Q и Т. 10. Дан четырехугольник ADCB. На его сторонах как на гипотенузах построены прямоугольные равнобедренные треугольники AOB, CQB, CSD, ATD . Докажите, что если вершины О и S совпадают, то отрезок QT проходит через их общую точку и делится в ней пополам. CD и при этом угол 11. В четырехугольнике ABCD AB = 3C между прямыми АВ и CD равен 30њ. На стороне AD построен равносторонний треугольник ADL, а на стороне ВС равнобедренный треугольник BKC с углом 120њ при вершине С. Докажите, что точки L, D, K лежит на одной прямой и точка D является серединой отрезка KL. CD 12. В трапеции ABCD, с основаниями АВ и CD, AB = 3C . На ее боковых сторонах AD, BC и диагоналях АС, BD построены как на гипотенузах подобные прямоугольные треугольники DLA, CNB , CMA, DKB с углами 30њ при вершинах А, В и 60њ при вершинах С, D. Докажите, что четырехугольник KNML квадрат со стороной, вдвое меньшей основания АВ. Найдите углы, которые образуют с основаниями трапеции стороны квадрата.

А равенством

перемещения точки
-45o

(

r rM

)2

uuuuur u r 1 uuuu AC = M1Q = 2 r rM

.

Окончательно имеем
uuuuu r r r MQ = rM = ( rM

)1 + (

)2

uuuuuu uuuuur u r u = MM1 + M1Q =
= 1 2 r r uuuu 45o uuuu DB + AC
-45o

. (18)

Аналогично поступим с точкой Т. Сначала, оставляя неподвижной точку D, совместим точку С с точкой А. При этом точка Т займет положение T1 (рис.22). И тогда будут выполнены равенства

(

r rT

)1

uuur 1 uuur CA = TT1 = 2

45o

=-

r 1 uuuu AC 2

45o

.

Затем, не меняя положения точки А, совместим точку D с точкой В. Тогда точка T1 совпадет с точкой S (рис. 23). Так как в этом случае m = AM : MD = и = -45o , 2 то
1

(

r rT

)2

uuur r 1 uuuu DB = T1S = 2

-45o

.