Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/18.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:03 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:22:12 2012 Кодировка: Windows-1251

&
B B M A
Рис.3

КВАНT 2002/?5

K


C H O D

G

= BH = CG . Значит, BC = HG, т.е. ВС = 1. Таким 1 образом, фигуру F можно представить как объединение двух частей: квадрата ABCD и дополнительной части Q, составляющие элементы которой пристегнуты 'точками-пуговками' А, В, С и D друг к другу. Часть Q расположим на плосB C кости иначе как показано
Q N A D A
Рис.4 Рис.5

б) Пусть круг, содержащий фигуру F, имеет радиус МО = = 1 (рис.3). Впишем в F прямоугольник ABCD такой, что АВ = 1. N Убедимся, что ABCD квадрат; для этого покажем, что ВС = 1. Отрезок HG средняя линия треугольника MKN, HG = 1. Далее, B1 HB = 90o , BH =

Таким образом, остатки чисел a n m1 и a n -n0 m1 при делении на m2 совпадают, т.е. rn = rn -n0 . Значит, последовательность {rn } имеет период длины n0 (доказано также и то, что этот период начинается с самого начала последовательности). Возникает вопрос о длине наименьшего периода последовательности {rn } . Верно ли, что если в качестве n0 взять наименьшее натуральное число такое, что a n0 при делении на m1m2 дает в остатке 1, то n0 и будет длиной наименьшего периода? Как показывает пример а = 3, m1 = 13 , m2 = 2 (здесь n0 = 3 , а последовательность {rn } сплошь состоит из нулей), ответ на этот вопрос в общем случае отрицателен. Однако если дополнительно предположить, например, что m2 m1 , то ответ будет утвердительным (читателю предлагается доказать это в качестве упражнения). Н.Осипов М1815. Общие перпендикуляры к противоположным сторонам неплоского четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны. Докажите, что они пересекаются. Инструментом решения является теорема Менелая для пространственного четырехугольника, утверждающая, что точки Х, U, Y, V, взятые на сторонахчетырехугольника АВ, ВС, CD, DA или их продолжениях, лежат в одной плоскости тогда и только AX BU CY DV тогда, когда = 1. XB UC YD VA Для доказательства теоремы Менелая продолжим прямые XU и YV до пересечения с АС. Точки X, U, Y, V лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда все три прямые пересекаются в одной точке Р либо параллельны (рис.1). Но в этом случае, применяя теорему
B X A V
Рис.1

B

C

D

на рисунке 4, отразив нижний и верхний ее элементы относительно AD и ВС. Далее, 'расстегнув' пуговки А, В, С и D, расположим элементы так, чтобы они образовали второй квадрат ABCD (рис.5). На этом завершим решение задачи-головоломки. В.Произволов М1814. Пусть а, m1 , m2 натуральные числа, причем а взаимно просто как с m1 , так и с m2 . Обозначим n через rn остаток от деления целой части числа a m1 на m2 (n = 0, 1, 2, ...). Докажите, что последовательность rn является периодической.

U C Y D P

НОД ( a, m1 ) = НОД ( a, m2 ) = 1, Так как то НОД ( a, m1m2 ) = 1 . Пусть n0 какое-нибудь натуральное число, для которого a n0 при делении на m1m2 дает в остатке 1. (Если НОД ( a, m1m2 ) = 1 , то такое число обязательно существует. Можно, например, положить n0 = (m1m2 ) , где (m ) функция Эйлера см. статью В.Сендерова и А.Спивака 'Малая теорема Ферма' в 'Кванте' ?1 за 2000 год.) Тогда a n0 = Qm1m2 + 1 для некоторого целого числа Q. Теперь при любом n n0 имеем a n a n0 a n = m1 m1
- n0

mr

(Qm1m2 + 1) a = m1

n - n0

=

n -n a n- n0 a n- n0 n -n = a 0 Qm2 + = a 0 Qm2 + m . m1 1 ([x] обозначает целую часть числа х).

Менелая к треугольникам АВС и ACD, получаем AX BU CP CY DV AP =1 и = 1 . Перемножая XB UC P A YD VA PC эти равенства, получим требуемое соотношение. Пусть теперь XY перпендикуляр к сторонам АВ и CD, UV перпендикуляр к AD и ВС. При ортогональной проекции на плосU? кость, параллельную C? B? XY и UV, прямой угол между прямыми АВ и X ? Y? XY остается прямым. Поэтому четырехугольник ABCD проецируется в прямоу гольник ABCD , а ? D? прямые XY и UV в A V? параллельные его сто- Рис.2