Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/13.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:03 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:12 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 13

КИНЕМАТИКА

В

ПЛАНИМЕТРИИ

r r r r Но разности векторов rA - rA0 и rB - rB0 есть векторы

13
-45o

перемещений точек А и В:

Осталось воспользоваться формулами (16):
uuuuu r r r r 1 uuuu 45o uuuuuu 1 uuuu LL2 = DB , K1K2 = DB 1 2 2

r r r r r r rA - rA0 = rA , rB - rB0 = rB ,

, LL2 = K1K2 1

uuuuu r

uuuuuu r

90o

.

т.е. вместо (14) запишем равенство
r r rB = mrA .

(15)

Таким образом, мы доказали лемму: если при движении точек А и В в плоскости выполняется равенство (12) или (13) (включая случай, когда постоянный вектор является нулевым), то выполняется равенство (15). Теперь вернемся к равенствам (4), (5), (7). Из них, соответственно, следуют равенства
m r ( -) r r r r r . rL = mrC , rK = nrC , rL = rK n
(16)

Собственно говоря, равенства (4), (5), (7) являются частными случаями соответственных равенств (16), если положить начальные радиусы-векторы точек K, L, C равными нуль-вектору:
r r r r rC0 = rK0 = rL0 = 0 .

Последнее равенство показывает нам перпендикулярность прямых K1K2 и N LL2 и равенство от1 резков K1K2 и LL2 . 1 Задача 10. На сторонах AD, ВС и на D диагоналях АC, BD C параллелограмма L M ABCD построены равнобедренные прямоугольные треуA B гольники DLA, CMB, CNA, DKB соответственно (прямые K углы в точках L, Рис. 18 K, N, M). Докажите, что KMNL квадрат (рис.18). Решение. Рассмотрим треугольник DLA. В этом треугольнике выполняется равенство DL =
uuuu r

Перейдем к примерам использования полученных соотношений. Задача 8. Вернемся к задаче 6 и дадим ее решение в новой технике. Решение. Из треугольника ACL (см. рис.13) имеем равенство CL = cos CA , что соответствует (13) при rr оставлять точку С неподвижной, R = 0 . Поэтому, еслиuuuu r uuuu - r то, согласно лемме, rL = cos rA . Переместим точку uuuu uuuu r r А в точку В: rA = AB . При этом точка L переместится uuuu uuuu r r uuuu r uuur - u в точку K: rL = LK . Но тогда LK = cos AB , т.е. LK = AB cos и образует с АВ угол . Задача 9. На сторонах произвольного четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники DL1 A , CK1D , BL2 A , CK2B (рис.17). Требуется доказать, что отрезки K1K2 и LL2 взаимно перпен1 D L K дикулярны и равны. Решение. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треуL гольник DL1 A . Из него получаем A
uuu r

(

uuu r

-

)

Рассмотрим перемещение этого треугольника такое, при котором точка D остается неподвижной, а точка А перемещается в точку В. При таком перемещении точка uuur u uuuu r r r L попадет в точку K. При этом rA = AB , rL = LK . Тогда из леммы приходим к равенству
uuuu r r 1 uuuu LK = AB 2
-45o

r 1 uuuu DA 2

-45o

.

.

(

)

Точно так же, рассматривая треугольник АВС и построенные на его сторонах треугольники CNA и СМВ, мы получим, рассматривая аналогичное перемещение, что
uuuuu r r 1 uuuu NM = AB 2
-45o

.
uuuuu r

(17)
uuuu r

Из двух последних равенств мы видим, что NM = LK , поэтому KMNL параллелограмм. Аналогично можно доказать, что верно равенство Сравнивая полученные выражения для KM и LK, видим, что KM = LK, а потому KMNL ромб. И, наконец, KMNL квадрат. В самом деле, из равенства KM =
uuuuu r uuur u uuuuu -45o r AB = 2 KM . Подставим найденное значение для uuur u AB в равенство (17) и получим -45o uuuuu r r r uuuuu -90o r 1 uuuu -45o 1 uuuuu -45o = = KM NM = AB 2 KM . 2 2 u 1 uuur AB 2
45o

uuuuu uuuu r r r 1 uuuu KM = LN = DC 2

45o

=

r 1 uuuu AB 2

45o

(так как DC = AB ).

uuuu r

uuuu r

K B

C

L1 AD = = 45o , 1 AL1 : AD = m = . 2

мы получаем равенство

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник CK1D . Из него получаем
Рис. 17

KCD = = -45o , CK1 : CD = n = 1

1 2

.

Таким образом, m : n = 1, - = 90o . Переместим теперь точку D в точку В. Тогда точка L1 переместится в точку L2 , а точка K1 переместится в точку K2 . Отсюда векторы перемещений точек D, L1 и K1 равны
uuuuu r uuuuuu r uuuu r r r r rD = DB , rL1 = L1L2 , rK1 = K1K2 .
4 Квант ?5

Из этого равенства видим, что угол NMK прямой. Но тогда ромб KMNL является квадратом. В заключение можно заметить, что задача обобщается на произвольный четырехугольник. На двух его сторонах и диагоналях строятся соответствующим образом подобные треугольники и четыре их вершины оказываются вершинами параллелограмма. Рассмотренная идея решения имеет некую модификацию. Проиллюстрируем ее на такой задаче.