Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/01/12.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:42 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:02 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

К В А Н T 2002/1

(0; b ) y = k x2

Итак, найдем расстояние от данной точки A(0; b) 2 до параболы, заданной уравнением y = kx , где k > 0. Что такое расстояние от точки до параболы? Это наименьшее из расстоя2 ний AM, где M x; kx точка параболы, т.е. это наименьшее значение функции

Узнаем, при каких a точка пересечения одна, а при каких три. Уравнение окружности с центром A и радиусом a - 1 2 записать легко:

b

g

b

x-a

g +b
2 2

y-a

g

2

= 2 a -1 .

b

g

2

e

j

Чтобы узнать, в скольких точках заданная этим уравнением окружность пересекает гиперболу, выясним, сколько решений имеет уравнение

b

x-a


.7

k
2

b

g + FGH
1
2

1 x

-a

IJ K

2

= 2 a -1 .

b

g

2

fx=

bg

x 2 + b - kx

d

2

i

2

Раскрыв скобки, запишем уравнение в виде x+ Обозначим t = x +
2

.

Обозначив t = x , имеем

x

- 2a x +

f

2

b xg F GH

= k 2t 2 + 1 - 2kb t + b2 .

b

g

FG H

1 x

IJ K

+ 4a = 2.

Квадратичная функция принимает свое минимальное 2kb - 1 значение в точке t0 = . При этом, как легко 2k 2 посчитать,

1 2 2 . Поскольку t = x + 2 + 2 , исследуx x емое уравнение превращается в квадратное: 1 t - 2 at + 4 a - 4 = 0 . Как известно, t 2 , причем значению t = 2 соответствует единственное значение x = 1, а любому t > 2 соответствуют два взаимно обратных значения x. Таким образом, мы 2 должны выяснить, при каких a > 1 уравнение t - 2at + + 4 a - 4 = 0 имеет единственное решение t 2 , а при каких два решения. Нам поможет то, что окружность проходит через точку K и поэтому t = 2 корень уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 2a, и поэтому отличный от t = 2 корень равен 2a 2. Решив неравенство 2a - 2 2 , получаем ответ: при a > 2 окружность и гипербола имеют три общие точки, а при 1 < a 2 лишь одну. Итак, при 1 < a 2 расстояние от точки A до гиперболы равно AK = a - 1 2 . А при a > 2 это расстояние меньше длины отрезка AK. На сколько меньше? На этот вопрос наше рассуждение ответа не дает. Считали, считали, а расстояние r так и не нашли. Почему? Похоже, мы делали не то, что нужно. Да. Простите нас, уважаемые читатели! Мы это так, понарошку заблудились. Вернемся же на путь истинный.
2

f

2

2kb - 1 2k
2

2 Впрочем, надо помнить о том, что t = x 0 : если 2kb 1 < 0, то минимальное значение функция f x принимает при x = 0. Итак,

I JK

=

b 1 - . k 4k 2

bg

1 . 2k Зависимость min f от b изображена на рисунке 7. b, если b
(a ; a ) xy = 1

min f

R | b xg = | S | | T

1 1 b - , если b > , 2 2k k 4k

b

g

Продолжим тренировку. Рассмотрим гиперболу. Но не ту, что нам понадобится в задаче о лежачем цилиндре, а более привычную, заданную уравнением xy = 1. Очевидно, при 0 < a < 1 расстояние r от точки A a; a до гиперболы равно 1 - a 2 . При a > 1 ответ более сложен. До тех пор, пока окружность с центром A и радиусом AK имеет с гиперболой только одну общую точку (рис.8), расстояние равно AK = a - 1 2 . Но при достаточно больших a гипербола имеет с такой окружностью не одну, а три общие точки (рис.9). Расстояние от точки A до гиперболы в таком случае равно AN < AK.

b

g

bg

Для вычисления величины r рассмотрим расстояние 1 от точки A a; a до точки M x; : x

bg

b

g

x =

bg b

a-x

g + FGH
2

FG H

IJ K

1 a- x

IJ K

2

.

y xy=

y

Очевидно, r это минимальное значение функции x . Поэтому мы возведем в квадрат и продифференцируем:

bg

e b x gj
2



=2 x-a +2 a-

b

a a K
.8

A N K

g FGH

1 1 2. xx

IJ K

A

Приравняем производную нулю: a 1 x - a + 2 - 3 = 0, x x
x

a

x
.9

a

x 4 - ax 3 + ax - 1 = 0 ,

e

x 2 - 1 x 2 - ax + 1 = 0 .

je

j