Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/01/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:44 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:31 2012 Кодировка: Windows-1251

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

!'

Задача 5. На крышу дома высотой Н с расстояния L от него мальчик хочет забросить gt мяч. При какой миниvt мальной величине начальной скорости v0 min A это возможно? Под каким углом следует в H этом случае бросить мяч? Ускорение свобод ного падения равно g. O L Сопротивление возду. 7 ха пренебрежимо мало. Через точки старта и окончания полета (рис.7) проведем прямую ОА, которая образует угол с горизонтальной прямой. Перемещение мяча за время полета t равно


камней полетел по навесной траектории, другой по настильной, но каждый попал в точку старта другого o камня. Известно, что в точке А угол бросания = 75 . после старта расстояние между Через какое время камнями станет минимальным? Чему равно это расстояние? Рассмотрим полет камня, брошенного из точки А. Повторяя построения, выполненные в начале решения предыдущей задачи (с учетом того, что точки начала и окончания полета лежат на одной горизонтальной прямой), находим продолжительность полета: 2v0 t= sin g и расстояние между точками А и В: 2 v L = v0 t cos = 0 sin 2 . g Аналогично, для камня, брошенного из точки В: 2 v L = 0 sin 2 . g Сравнивая выражения для L, получаем sin 2 = sin 2 , или, поскольку по условию 2 + 2 = , . 2 Далее, выберем в качестве тела отсчета камень, вылетевший из точки А, и свяжем с ним систему отсчета, движущуюся поступательно относительно лаборатории. Скорость второго камня в этой системе u найдем из правила сложения скоростей:


r t = v0 t +

bg b



2

gt 2

(считаем r0 = 0 ). Как видим, проекции векторов v0 t и
2



gt

2 на направление нормали к прямой ОА равны: v0 t sin - =

g

gt 2

2

cos ,

откуда находим продолжительность полета мяча: t= 2v0 sin - g


+=



cos

b

g

.

Далее, из рисунка 7 следует, что алгебраическая сумма проекций векторов v0 t и gt 2 2 на прямую ОА равна расстоянию от точки старта до точки окончания полета: H + L = v0t cos - -
2 2

u = v2 t - v1 t = v02 + g t - v01 + g t = v



b

g

gt 2

2

sin .

С учетом выражения для времени полета последнее соотношение перепишем в виде H +L =
2 2

v

2 0

g cos

2

csinb

2 - - sin .

g

h

т.е. в подвижной системе второй камень движется равномерно и прямолинейно со скоv ростью A B u = v02 - v01 , u равной начальной относиv тельной скорости. Так как C v01 и v01 = v02 = v0 , вектор u есть диагональ v
02

b g b g FGH






IJ FG KH





IJ K

02

v01 ,



Наименьшему значению начальной скорости соответствует угол бросания такой, при котором множитель в скобках в последнем соотношении принимает наибольшее значение: sin 2 - = 1 , 2 - = , = + . 2 42 Тогда 2 2 2 2 cos v0 min = g H + L . 1 - sin

. 8

c

h

С учетом равенства tg = H L получаем v и окончательно v
0 min 2 0 min

=g

F H

H +L +H ,

2

2

I K

=

g

F H

H +L +H .

2

2

I K

Задача 6. Из точек А и В, находящихся на одной горизонтальной прямой, одновременно бросили два камня с одинаковыми по модулю скоростями v0 = 20 м с . Один из

квадрата, построенного на векторах v02 и - v01 , поэтому u = 2v0 . Обратимся к рисунку 8, иллюстрирующему относительное движение. Из рисунка находим кратчайшее расстояние между камнями длину катета АС в прямоугольном треугольo o нике АСВ, где угол при вершине В равен = - 45 = 30 : L AC = L sin = = 10 м . 2 Максимальное сближение камней произойдет в момент времени AC = 0,6 c. u tg Задача 7. С горизонтальной поверхности земли бросили мяч, и он упал на землю со скоростью v = 9,8 м/с под углом o = 30 к горизонту. Величина вертикальной составляющей скорости в точке бросания на 20% больше, чем в точке падения. Найдите продолжительность t полета. Считайте силу сопротивления пропорциональной скорости мяча: