Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/01/49.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:45 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:22:56 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ИНФОРМАЦИЯ

"'


1. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно вертикально вверх, другое под углом = 60o к горизонту. Начальная скорость каждого тела равна v0 = 25 м с . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите расстояние между телами через = 17 c . (10 баллов) , 2. Под каким углом к горизонту надо бросить тело массой М, чтобы максимальная высота его подъема равнялась дальности полета, если на тело действует с постоянной силой F горизонтальный попутный ветер? Ускорение свободного падения равно g. (10 баллов) 3. На столе лежит доска массой М, на одном конце которой находится брусок массой m. Бруску сообщают скорость v0 вдоль доски. Какое время вся система будет находиться в движении, если коэффициент трения между доской и бруском ч1 , а между доской и столом ч 2 ? (10 баллов) 4. Температура одного моля идеального одноатомного газа 2 меняется по закону T = aV . Найдите теплоемкость газа в этом процессе. Универсальная газовая постоянная равна R. (10 баллов) 5. В цилиндре под поршнем находится воздух при температуре t1 = 100 o C , имеющий относительную влажность = 40% . Во сколько раз следует изменить объем воздуха, o чтобы при его охлаждении до температуры t2 = 20 C на стенках сосуда выпала роса? Нормальное атмосферное дав5 ление p0 = 10 Па , давление насыщенного водяного пара 3 при температуре 20 њС pн = 2,3 10 Па . (10 баллов) 6. В двухэлектродной лампе напряжение между плоскими электродами составляет 22 кВ. Электроны ударяют об анод с общей силой 1 мкН. Удары неупругие. Какой силы ток течет через лампу? Отношение заряда электрона к его массе 11 , равно 176 10 Кл кг . (10 баллов) 7. Пучок протонов влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл перпендикулярно линиям индукции. Протоны движутся по дуге окружности радиусом 20 см и попадают на заземленную мишень. Найдите тепловую мощность, выделяющуюся в мишени, если сила тока в пучке 0,1 мА. Отношение заряда протона к его массе равно 096 108 Кл кг . (10 баллов) , 8. На луче ОА (см. рисунок) расположено бесконечное множество точечных зарядов величиной q так, что расстояние между очередными двумя соседними зарядами удваива-

ется. Определите поRR R "R тенциал поля в точке O q q q q A О (начало луча), где заряда нет, а до первого заряда расстояние равно R. Электрическая постоянная равна 0 . (10 баллов) 9. В области пространства, где имеются одновременно однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл и однородное электрическое поле с напряженностью Е, движется электрический заряд. Известно, что в тот момент времени, когда скорость заряда равна v = 500 м/с и направлена перпендикулярно вектору магнитной индукции, ускорение заряда равно нулю. Пренебрегая силой тяжести, определите величину напряженности электрического поля. (10 баллов) 10. Непрерывное излучение лазера мощностью 600 Вт продолжалось 20 мс. Излученный свет попал на кусочек идеально отражающей фольги массой 2 мг, расположенный перпендикулярно направлению распространения света. Какую скорость приобрел кусочек фольги? (10 баллов) 1. Решите неравенство x+5 < 4 5 x-2 + 2 5 x - 3 . (20 баллов) 2 11

2. Проверьте справедливость равенства arcsin + arccos = arcctg . (20 баллов)

3. Решите уравнение lg - x = lg x . (10 баллов) 4. Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4 и 5. Сумма полученных оценок равна 93, причем оценок 3 больше, чем пятерок, но меньше, чем оценок 4. Кроме того, число четверок делилось на 10, а число оценок 5 было четным. Определите, сколько каких оценок получила группа. (25 баллов) 5. В прямоугольном треугольнике АВС с острым углом 30њ проведена высота CD из вершины прямого угла С. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники АСD и BCD, если меньший катет треугольника АВС равен 1. (25 баллов)

>C

2

ОТВЕТЫ,
'6-8'
(см. 'Квант' ?4 за 2001 г.)

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

справедливы векторные равенства


AF = AD + DK + KF , CE = BE - BC .







1. Преобразовав выражение в правой части исходного тождества к виду
a + b + c + 3ab + 3ac + 3a2b + 3a2c + 3bc2 + 3b2c - 18abc А,
3 3 3 2 2

Учитывая, что для параллелограммов ABCD и CEFK справедливы равенства
KF = CE , AD = BC ,


запишем разность между правой и левой его частями:
3 ab2 + ac2 + a2b + a2c + bc2 + b2 c - 6 abc = 0 .

@

E

выводим


AF = DK + BE .А








Последнее равенство равносильно тождеству
a b-c

Поскольку числа а, b, с положительны, то это равенство возможно лишь в одном единственном случае: a = b = c. 2. Для произвольных точек A, B, C, D, E, F, K плоскости

>

C

2

+b c-a

>

C

2

+c a-b

>

C

2

= 0.

По условию DK || BE , поэтому AF || DK , AF || BE . Векторы DK и BE могут быть сонаправлены (рис.1) или противоположно направлены (рис.2). В первом случае | AF | =| BE | + | DK| = a + b ; во втором случае | AF | = a - b или b | AF | = - a в зависимости от того, какой из векторов BE или DK длиннее.