Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/01/42.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:44 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:30 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

"

К В А Н T 2002/1

центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника АОВ, равен 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD. 5. Для каждого значения параметра а решите неравенство 3 a - 1 - 8a - 5 3

2. Решите уравнение

2 sin 2 x cos 5 x 3. Решите уравнение 18 - 9
x

ej
2 x +1

- sin 5 x + 2 x = 0 .
x +2

e

2

j

b

g

-2 - log 81 x + 6 x + 9

FH

2

IK

3 a + 2 x + 3

b

g

2 log x + 3 1 9

-2

+ 36 = 0 .

.

6. Сфера касается всех боковых ребер правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, причем ребер SA и SB она касается в точках K и L соответственно. Точки K, L и S лежат по одну сторону от плоскости, которая касается сферы в точке М, принадлежащей грани SAB, и пересекает ребра SA и SB в точках G и Н соответственно. Прямые KM и LM делят апофему грани SAB на три равных отрезка. Известно, что АВ = 9 и GH = 3 11 . Найдите объем пирамиды SABCDEF и радиус сферы. 4

4. В треугольнике ABC приведены медианы AN и СМ, o ABC = 120 . Окружность, проходящая через точки А, М и N, проходит также через точку С. Радиус этой окружности равен 7. Найдите площадь ABC . 5. Решите неравенство 2 log 9 3 x - 4 > log

e

2

j

3

3x - 4 .

2

( , )
1. Решите систему уравнений

6. В правильной треугольной пирамиде SKLM, все ребра которой равны 8а, на ребре SK взята точка А так, что SA : AK = 1 : 3. Через точку А проведена плоскость, параллельная ребру SM и высоте KN KLM . Найдите периметр сечения пирамиды этой плоскостью. 7. Для любого значения а решите неравенство 3 2 x - a + 5 a 2 x - a - 2a > 0 . 8. На стороне острого угла KOM взята точка L (L между О и K). Окружность проходит через точки K и L и касается луча ОМ в точке М. На дуге LM, не содержащей точки K, взята точка N. Расстояния от точки N до прямых ОМ, OK и KM равны m, k и l соответственно. Найдите расстояние от точки N до прямой LM. 6

b

g

2

2. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии равна 56. Все члены этой прогрессии натуральные числа. Двенадцатый член больше 67, но меньше 74. Найдите двадцатый член этой прогрессии. 3. Среди всех решений системы

R2 | S |5 T

5
y

1- y

= log 3 x

e j,
-2

+ log 3 x = 4.

( , )
1. Решите уравнение 2. Решите неравенство tg x + 1 ctg 2 x + 3 = 1. 1 3-x 3. Решите уравнение 4
3x +x
2

найдите такое, при котором выражение x + y - 6 x - 8 y + 25 принимает минимальное значение. 4. Решите уравнение cos x + 7 x sin 4 x + x = 1. 2

R | S | T

y + 3 x -3, x + y + 4 x + 2 y 11
2 2 2 2

b

gb

g

>

1 x-2

.

ee

jj FGH e

jIJK

- 8 = 28

2 x +x 3

.

5. Трапеция с основанием 8 и высотой 3 + 2 вписана в окружность радиуса 5 . Каждый из четырех отсекаемых сторонами трапеции сегментов отражен внутрь трапеции симметрично относительно отсекающей его стороны. Найдите площадь фигуры, состоящей из тех точек трапеции, которые не принадлежат ни одному из отраженных внутрь нее сегментов. 6. Функция f x определена, возрастает и отрицательна на всей числовой прямой. Решите неравенство

, 2 LM = l, KN = k, MN = a. Окружность проходит через точки М и N и касается прямой KL в точке А. Найдите площадь AMN . 5. Решите неравенство log
2

4. В трапеции KLMN известно, что LM || KN , KLM =



bg

F GH

log

3

F GH

x -1 x +1

II JK JK

< log

1 8

F GG H

log

1 9

F GG H

x + 2x + 1 x - 2x + 1
2

2

I JJ K

I JJ K

.

FH 2f e

x - 2 x - 112 + f x - 2 x - 112 - 3 f -2x 32 - : 3 f -2 x 32 - 2 x - 112 - 2 f -2 x 32 - 2 5

2

je

2

j

e

ee

j

e

2x j I: K x jj >
7

0.

6. В пирамиде SABC AB = 7, BC = 8, CA = 9. Высоты боковых граней, проведенные из вершины S, являются касательными к сфере, вписанной в пирамиду. Радиус этой 5 сферы равен . Найдите объем пирамиды. 2 7. Для каждого значения а найдите все решения уравнения cos 2 x + 2 sin x + a + 2 - sin a = 0 , принадлежащие промежутку x 2 . 8. В треугольнике АВС известен угол BAC =
2

( , ' 2001', )
1. Решите неравенство 2 + 5 x - 18 x-2
x

b

g

5.

. Прямая, 4 параллельная стороне АС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. На отрезках AN и СМ как на