Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/02/11.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:47 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:17 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

О

ПРОСТОМ

И

СЛОЖНОМ

Упражнение 2. Покажите, что и более сложные частицы (см. рис.7,б и в) не приводят к изменению сопротивления вакуума.



пер

n n-2 = 0 - 0 = 0 . 2 2

11

Итак, полезный вывод: наличие частиц мы можем игнорировать!


Все нетривиальные схемы это схемы, у которых каркас выделенных проводников содержит точки входа и выхода. Давайте такие каркасы называть растениями. Этот мир очень богат и сложен и содержит все виды электрических цепей. Например, самый общий случай полная цепь с различными проводимостями между узлами есть по нашей терминологии разросшееся разноцветное дерево. Да, оказывается прикосновение к входу и выходу чревато не только на практике, но и в теории. Совершенно верно. Но наша цель не анализ всех возможных случаев, а проверка принципа простоты. Частично мы в нем уже убедились полные схемы не представляют труда для расчета. Давайте теперь рассмотрим почти полную цепь и убедимся, что расчет вполне остается нам по силам. На рисунке 9 изображены три простейших растения: перемычка, элементарное растение и два элементарных растения. Найдем сопротивления этих цепей. Если
a n 3 1 2 1 2 3 1 4 2 б в n

В случае элементарного растения после удаления вакуума останутся три узла (рис.10,б). Пунктирная линия обозначает проводимость n-мерного вакуума с исключенными n - 3 узлами, жирная отрицательную проводимость - 0 . Так что исключение всех регулярных узлов приводит нас к схеме с тремя узлами и проводимостями между ними, равными n 12 = 2,3 = 0 , 3 и n n-3 1,3 = 0 - 0 = 0. 3 3 Поэтому после удаления третьего узла для проводимости элементарного дерева получим n-3 n 0 0 n n-2 3 3 эл = 0 + =n . n-3 n 3 2n - 3 0 0 + 0 3 3 А в случае двух элементарных растений попробуйте произвести расчет сами и убедитесь в том, что проводимость этой схемы равна

>

C

3 =

n n-2 . 2 n -1 0

> >

C C


Пожалуй, теперь нам по силам решить изначальную задачу не только для трехмерного куба, но и для N-мерного. А мы N-мерный куб не видели! А его никто не видел. Обычно объектам присваивается статус N-мерного для особого шика, если просматривается какая-то аналогия с реальными трехмерными или двумерными объектами. Например, каркас обыч3 ного куба это электрическая схема с 2 узлами. N Поэтому электрическую схему с 2 узлами мы можем с полным правом назвать N-мерным кубом. Обобщаем дальше. Номера восьми вершин трехмерного куба в двоичной системе счисления можно записать так: 0 (0,0,0), 1 (0,0,1), ... , 7 (1,1,1). Тогда, N если у нас есть цепь с 2 узлами, мы можем каждому из них поставить в соответствие двоичный N-разрядN ный номер: 0 (0,0,....,0), . . . , (2 1) (1,1,...,1). По аналогии с трехмерным единичным кубом, эти наборы из N нулей и единиц можно назвать координатами вершин единичного N-мерного куба. Отрезок, соединяющий i-ю и k-ю вершины, будем называть ребром, если его 'длина', вычисленная по теореме Пифагора через 'N-мерные координаты':
l=

.9. : , ,

в предыдущем разделе мы удаляли особенные узлы, то теперь давайте попробуем другой прием удаление вакуумных (регулярных) узлов. Вот что получается. В случае перемычки можно удалить все узлы, кроме входа и выхода. На рисунке 10,а показано, что останется после такого удаления. Пунктирная линия соответa n 1 1 2 2 б 3 1 n 2 3 1 2

.10.

ствует вакуумной проводимости n-мерного вакуума после удаления n - 2 узлов, толстая жирная линия напоминает, что из этой проводимости следует вычесть 0 , которую мы 'забыли' включить в исходной схеме между узлами 1 и 2. Поэтому для перемычки получим

>

C

?

xi - xk

D +?
2

yi - yk

D

2

+ K + zi - zk

?

D

2

,

равна единице. А если эта величина для каких-то двух вершин будет иметь максимально возможное значение N , то мы будем говорить, что эти вершины лежат на главной диагонали.

3*