Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/kv0302keys.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:53 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: млечный путь

ОТВЕТЫ,
Уравнения Пелля

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

#%
k + dn + k ,

Значит, если k = t 2m m + d , то

1. Рассуждайте по индукции. 2. Обозначим через fn количество способов пройти расстояние длиной n шагов. Очевидно, f 0 = 1 (никуда не ходить можно единственным способом) и f1 = 2 (можно сделать либо шаг вперед, либо два шага вперед и шаг назад). Пройти n + 2 шага можно трояко: либо пройти сначала n + 1 шаг и сделать шаг вперед, либо пройти n шагов и сделать два шага, либо пройти n + 1 шаг, а затем сделать два шага вперед и шаг назад. Значит, f n + 2 = f n +1 + f n + f n +1 = 2 f n +1 + f n . Ответ: f 7 = 408. 2 2 3. Если a - db = +1, то



m+d + m



n

=

s2 + t 2 m m + d =

что и требовалось. Можно решить задачу и по-другому. Обозначим A = m + m + d . Рассмотрим функцию y = x + d n + x . Она непрерывна, а ее значение в точке x = 0 меньше числа A n . Поскольку эта функция стремится к бесконечности при x + , то существует такое x, что

x + d n = An - x .
Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получим после упрощения
ж d An - з з з m+d + m и A2 n - d n = x= 2 2 An ц ч ч ч ч ш
n

1 a +b d

=

Обратно, пусть числа x и y целые. Рассмотрим равенство

e

a -b d a-b d a+b d

je

j

=

a-b d a - db
2 2

= + a -b d .

e

j

=

e

a+b d x+y d =1

je

j

=



m+d + m

-
n

m+d- m

и сопряженное к нему

2



n

,

e

a - b d x - y d = 1.
2 2

je

j

Перемножив эти равенства, получаем откуда a - db = +1. 4. а) x2 n + y2 =
2 2

e

a - db

je

x - dy

2

2

j

= 1,

1

+2



n2



n

2 = 1 + 2
n

= xn + yn 2



2n

=

2

2 2 = xn + 2yn + 2xn yn 2 . Поскольку n 2 2 = 2xn - -1

2 2 xn - 2yn = - 1 , то x2 n + y2

5. а) 1 + 2



n



n



+ 2 xn yn 2 .
n

= xn + yn 2 =

x + 2y =

2 n

2 n

2 x + xn - -1 . 2 n

б) Пусть n нечетно. Возведя число пень и воспользовавшись тем, что ральные числа, получим равенство

m + d + m в n-ю сте-



m+d



2

и

m

2

откуда уже легко вывести, что x натуральное число. n + n2 - 4 удовлетворяет равенству в) Число x = 2 1 x + = n. Положим km = xm + 1 . Тогда x xm ж 1ц ч km +1 = km з x + ч - km -1 = nkm - km -1 . Поскольку числа k0 = 2 з з xч и ш и k1 = n натуральные, при помощи индукции легко доказать, что все числа km натуральные. Решая квадратное уравнение, 2 k + km - 4 . Поскольку x 1 , то нужно взять находим x m = m 2 знак 'плюс'. 6. Нет. Если бы такие числа a, b, c и d существовали, то при помощи перехода к сопряженным числам мы получили бы
0 ? a - b 2

нату-

+ c
2

-d 2



2

= 7 - 5 2 < 0.


Перемножим:

m+d + m



n

= s m+d +t m , m на - m , полу-

7. а) Первый способ. Пусть 5 + 3 2





m

= 3 + 5 2 . Переход
n

где s и t натуральные числа. Заменив чим сопряженную формулу:
m+d- m

к сопряженным числам дает равенство 5 - 3 2
5 2 - 3 > 1.





m

= 3 - 5 2 ,
n



n

= s m + d -t m .

которое противоречит неравенствам 0 < 5 - 3 2 < 1 и Второй способ. Если 5 + 3 2

dn = m + d - m = s m + d + t m s m + d - t m =
n



m

= 3 + 5 2



n

, то и

5
2

-3 2



m

= 3 - 5 2



n

. Перемножив эти равенства, получим

= s m + d - t m .
2

n n 25 - 9 Ч 2 = 9 - 25 Ч 2 , т.е. 7m = -41 , что невозможно.

m

Таким образом, достаточно положить k = t 2 m при этом



m+d + m



n

=

s m + d +
2

t m = k+d + k .

2

n

Решение для четных n аналогично:

б) Пусть для определенности a < b. Тогда 1 < b + a d < a + b d , и поэтому m < n. Перейдя к сопряженным числам и разделив почленно полученное при этом равенство на исходное, получим
a-b d a+b d
m


Следовательно,

m+d + m



n

= s + t m m + d ,
m на - m , полу-

где s, t натуральные числа. Заменив чим

=

b-a d b+a d

n

. и =
a d -b b+a d

m+d - m
n



n

= s - t m m + d .

Сравним теперь величины ч =

b d-a

a+b d этого достаточно сравнить числа

. Для

dn = m + d - m =
= s + t m m + d s - t m m + d = s2 - t2m m + d .







b

d - ab + a d



и

a

d - b a + b d .
2

Первое из них равно ab d - 1 + b 2 - a



d , а второе равно


#&
ab d - 1 - b 2 - a
2

КВАНT 2002/?3



d . Обозначив S = ab d - 1 и

Аналогично можно доказать, что lim
t 1 . lim n = n qn 6 10. а) Например, x; y = б) Например, a = 3, b = 2, эти числа можно, выразив z

T = b - a
2

2



d , сводим дело к сравнению чисел |S + T| и

n qn

tn

=

1 3

и

|S T|. Поскольку S и T положительные числа, то |S + T| > >|S T|. Значит, ч > . Тем более, чm > n . Но, как вы помните, чm = n . 30 8. а) Число x = 45 + 1975 можно представить в виде женное число: y = 45 - 1975

a + b 1975 , где a, b натуральные числа. Рассмотрим сопря-

3; 5 , 20; 29 или (119; 16 9 ) . c = 1, d = 4, e = 3, f = 2. Найти из равенств = 2x + 1,





30

= a - b 1975 . Заметим, что
числа X и Y через x и y.

Z = 2X + 1, Z = 3 z + 4 y, Y = 2z + 3 y
2 22

x + y = 2a и 0 < y < 1. Значит, [x] = [2a y] = 2a 1. г) Воспользуйтесь тем, что 2 - 3 > 0 , число



2+ 3

д) an

=
n

+ 2 - 3 5+2 6 + n
n



n

целое и lim 2 - 3

+

5-2 6



nR? n





n

= 0.

11. Уравнение x 2 + y 2 - 1 = y



эквивалентно уравнению

. Обозначим = 5 + 2 6 и

= 5 - 2 6 . Тогда

an

+2

=

n +2

+2

= 5+2 6

= 49 + 20 6 + 49 - 20 6

(

(

)

)

2 n

n + 5 - 2 6

(

(

) )

2n n

=
=

= 50 + 20 6 n + 50 - 20 6 n - n - n = = 10

(

)

Поскольку an + 4 = 10an + 3 - an +2 = 10an + 3 - 10an +1 + an , то числа an + 4 и an оканчиваются одной и той же цифрой. Поскольку a0 = 2 , то десятичная запись числа a1000 оканчивается цифрой 2. Далее,

(

(

n +1

+

n +1

)-(

)

n +

n

)

= 10an

+1

- an .

x 2 - 2y 2 = -1 . 12. Существует. Например, f (x ) = 2x 2 + 1 . 13. Да, существуют. Подставив n = 1 в искомые соотношения, получим 17 = 3a + b, 12 = 2a, откуда a = 6, b = 1. Докажем по индукции, что найденные значения удовлетворяют условию задачи. База это та система, из которой мы нашли a и b. Переход. Пусть при некотором n выполнены равенства xn +1 = 6 xn - xn -1 и yn +1 = 6 yn - yn-1 . Тогда x
n+2

= 3x

n +1

+ 4 yn

+1

= 3 (6 xn - xn

-1

)

+ 4 (6yn - yn

-1

)

=

a1000 =



3+ 2



2000

+



3 - 2

2000

>



3 + 2 ц ч ч ч ш

2000

=

= 6 (3xn + 4yn ) - ( 3xn -1 + 4yn

-1

)

= 6xn + 1 - xn ;

= a1000 -



3- 2



2000

ж1 з > a1000 - з з3 и

2000

> a1000 - 1 0-666 ,

аналогичная выкладка доказывает равенство yn + 2 = 6 yn +1 - yn . 2 2 14. Нет. а) x - 1 + x 2 + x + 1 = 3 x 2 + 2 ; но квадрат не может дать остаток 2 при делении на 3. б) x - 1 + x2 + x + 1 + x + 2 = = 4 x + 4 x + 6 ? 2 m od 4 ; но квадрат целого числа не может дать остаток 2 при делении на 4. в) 5x2 + 10 = 5 x2 + 2 не может быть квадратом, поскольку
2

2

2

2

откуда и следует, что перед запятой в десятичной записи числа



3+ 2



2000

стоит цифра 1, а после запятой не менее

666 девяток. (При помощи компьютера можно проверить, что девяток 995 штук.) 9. Обозначим a = 1 + 2 + 3 , b = 1 - 2 + 3 ,
c = 1 + 2 - 3 и d = 1 - 2 - 3 . Наряду с равенством

x 2 + 2 ни при каком целом x не делится на 5.

a n = 1 + 2 + 3



n

= qn + rn 2 + sn 3 + tn 6

рассмотрим три сопряженных:

г) 6 x2 + 6 x + 19 ? 3 mod 4 . д) x 2 + 4 = 7z 2 . Значит, x 2 + 4 делится на 7, что невозможно. е) 2x 2 + 2x + 11 = z2 . Значит, z2 ? 3 mod 4 . ж) x - 4 + x - 3 + x - 2 + K ...+ x + 3 + x + 4 = 9x2 + 60 делится на 3, но не делится на 9 и поэтому не может быть точным квадратом. 2 з) 2x x + 1 ? 3 m od 5 , поскольку 2x + 1 ? 7 mod 5 . и) y 2 ? 2 mod 4 . 15. а) Домножим обе части уравнения 3 x 2 + 3 x + 1 = y 2 на 4 и 2 выделим полный квадрат: 3 4x2 + 4x + 1 + 1 = 2y , т.е. 2 2 2y - 3 2x + 1 = 1 . Обозначив z = 2y и t = 2x + 1, получаем уравнение Пелля z 2 - 3t 2 = 1. Нас интересуют не все решения последнего уравнения, а лишь те, где z четно. В любом решении уравнения z 2 - 3t 2 = 1 одно из чисел z и t четно, а другое нечетно. При переходе z; t R 2z + 3t; z + 2t пара (четное; нечетное) преобразуется в (нечетное; четное), и наоборот. Поэтому нужно рассматривать только 'половину' решений, а именно (z; t) = (26; 15), (362; 209), (5042; 2911), (70226; 40545), (978122; 564719), (13623482; 7865521) и так далее. Этим решениям соответствуют пары (x; y) = (7; 13), (104; 181), (1455; 2521), (20272; 35113), (282359; 489061),
2 2 2 2 2

b n = qn - rn 2 + sn 3 - tn 6, cn = qn + rn 2 - sn 3 - tn 6, d n = qn - rn 2 - sn 3 + tn 6.
Из этих четырех равенств находим
4qn = a n + bn + cn + dn , 4rn 2 = a n - b n + cn - dn, 4s
n

3 = a n + bn - c n - dn,

4tn 6 = a n - b n - c n + d n.

Следовательно,
rn a -b + c -d =n = qn ж a + bn + cn + dn 2 ж з з з з з1 + з и з и
n
n n n n

ж 1- з з з и

b a

ц ч +ж з ч з ч з ш и

n

c a

ц ж ч -з ч з ч з ш и

n

d a

ц ч ч ч ш

n

n ж bц ч з ч +з з ч aш и

n ж cц ч з ч +з з ч aш и

n dц ч ч ч aш

ц ч ч2 ч ч ч ш

R

1

2.

(Стремление величин b a , c a и d a к нулю следует из того, что все три числа b/a, c/a и d/a по модулю меньше 1.)

n

n


ОТВЕТЫ,
3 3 2

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

#'

(3932760; 6811741)... В частности, 8 - 7 = 13 и 393276 13 - 3932760 3 = 68117412 . Согласитесь, последняя формула впечатляет! 2 б) 2n - 1 2n + 1 = 3 2 x + 1 . Числа 2n 1 и 2n + 1 взаимно просты, так что одно из них должно быть квадратом, а другое утроенным квадратом. Значит, либо 2n - 1 = 3t 2 и 2n + 1 = s 2 , либо 2n - 1 = t 2 и 2n + 1 = 3 s 2 . В первом случае s 2 - 3t 2 = 2 , что невозможно, поскольку квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 3. Значит, имеет место второй случай: 2n - 1 = t 2 . Обозначив t = 2k + 1, из равенства 2n - 1 = 2k + 1 2 + k + 1 .
2

получаем n = 2k2 + 2k + 1 = k2 +

в) 6 x 2 + 12 x + 8 ? 2 ? y2 m od 3 . 16. Числа m и n удовлетворяют равенству m2 - 3 n2 = 1, которое можно записать в виде m - 1 m + 1 = 3n2 . а) Если k нечетно, то m четно, так что числа m 1 и m + 1 взаимно просты, и решение такое же, как решение пункта б) предыдущего упражнения. б) Если k четно, то m нечетно и, следовательно, НОД(m 1, m + 1) = 2. Значит, одно из чисел m 1 и m + 1 имеет вид 2 2 2 2a 2 , а другое 6b . В случае, когда m - 1 = 2a и m + 1 = 6b , 2 2 имеем a = 3b - 1, что невозможно. Следовательно,
m + 1 = 2a2 , что и требовалось доказать.

17. а) Очевидно, x - 1 x + 1 = py 2. Если x четно, то числа x 1 и x + 1 взаимно просты, и для некоторых натуральных a и b должна выполняться одна из систем
x - 1 = a2 , x - 1 = pa 2, или 2 2 x + 1 = pb x + 1 = b .

роне квадрата, то с любой стороны от отрезка KL найдется точка M рассматриваемой системы, для которой углы MKL и MLK оба острые. Противоречие очевидно: одна из восьми точек оказалась в полуполосе, ограниченной отрезком KL и перпендикулярами к нему, восстановленными из K и L, и расположенной 'внутри' рассматриваемой ветви. Но в этой полуполосе нет ни одной точки рассматриваемых гипербол. Ясно также, что K и L не могут быть соседними вершинами квадрата (иначе середина отрезка KL не лежит на гиперболах). Поскольку никакая сторона квадрата не может пересекать никакую ветвь гиперболы более чем в двух точках, то мы приходим к единственной конфигурации: на каждой ветви гиперболы лежат одна вершина квадрата и середина одной из выходящих из этой вершины сторон. Рассмотрим такие две точки A и B. При симметрии относительно начала координат точки A и B переходят в точки A и B , лежащие на другой ветви той же гиперболы. При этом отрезок AB равен и параллелен отрезку BA . Если бы противоположная вершине B вершина квадрата и противоположная середине A середина стороны квадрата не совпадали с точками B и A соответственно, то на ветви гиперболы нашлись бы два разных отрезка, равных по длине и параллельных. Противоречие: отрезки, высекаемые на ветви гиперболы разными параллельными прямыми, различны по длине. 20. а) Воспользуйтесь индукцией или, записав тождество в n виде 2 - nn-1 - 2 -1 = - (-1) , вспомните теорему 6. n n б)
n- 2n+ 2

= ( n -
= 2 n

n-1

)(

n +
+1

n+1

)

=
+1

- n -1n

+ n n
n

- n -1n =

= - ( -1) +

n

(

n

+1

- n

-1

)

= 2 - ( -1) . n

n

Значит, при четном x одно из чисел x 1 и x + 1 является квадратом натурального числа. Если же x нечетно, то НОД(x 1, x + 1) = 2, и имеем системы
x - 1 = 2a 2 , x - 1 = 2 p a 2, или 2 2 x + 1 = 2 pb x + 1 = 2b ,

'Квант' для 'младших' школьников
Задачи
(см. 'Квант' ?2) 1. Пусть Петя задумал число ab = 10a + b . После указанных в условии задачи операций Петя получит новое число 11 a + b - 10a - b = a + 10b = ba , которое отличается от задуманного перестановкой цифр. Петя задумал число 52. 2. Доля мальчиков может сохраниться лишь в том случае, если на каждого вновь пришедшего мальчика будет приходиться шесть вновь пришедших девочек. Чтобы доля уменьшилась, пришедших девочек должно быть еще больше. Если бы пришли 2 мальчика или больше, то должны еще прийти более 2 6 = 12 девочек, т.е. всего более 14 человек. Это невозможно. Значит, в кружок пришел только один мальчик, а девочек пришло 12. 3. Достроим второй шестиугольник до прямоугольника (рис.1). Далее проводим прямую, проходящую через центр

из которых следует, что x 1 или x + 1 является удвоенным квадратом. б) Да. Например, x = 4, y = 1, d = 15. 18. Поскольку -1 < 1 - 3

b

g





2 n +1

< 0 и число

1
целое, то
й к1 + 3 л

+3



2n + 1

+ 1 - 3



2n +1



2 n +1

щ ъ = 1 + 3 ы



2 n +1

+ 1 - 3



2 n +1

=

= 1 + 3 4 + 2 3

+ 1
n n

- 3 4 - 2 3



n

=

= 2n Ч 1 + 3 2 + 3



+ 1

- 3 2 - 3



n



=

= 2n Ч 2 xn + 6 yn = 2

n+1

xn + 3 yn ,

где xn =

и yn = 2 23 2 2 удовлетворяют равенству xn - 3 yn = 1 . Осталось заметить, что xn и yn числа разной четности. 19. Рассмотрим 8 точек: вершины и середины сторон некоторого квадрата. Пусть все они лежат на гиперболах xy = +1. Если на некоторой ветви лежат некоторые две точки K и L, то соединим их отрезком. Если K и L не лежат на одной сто-



2+ 3

+
n

2- 3



n

2

+3

-
n

2- 3



n

Рис. 1


$

КВАНT 2002/?3

большого прямоугольника и центр маленького прямоугольника, представляющего собой 'вырез', она и окажется как раз тем, что требуется. 4. Вместо гирек будем рассматривать числа, выражающие их массы. От каждого из двух диаметрально расположенных чисел отнимем величину наименьшего из них. Тогда по кругу будут расставлены только нули и единицы. Проведем диаметр круга так, чтобы по разные стороны от него оказалось одинаковое количество чисел. Зафиксируем какую-то одну из сторон и подсчитаем сумму всех расположенных на ней чисел. Начнем поворачивать диаметр относительно центра круга на 18њ, каждый раз подсчитывая сумму чисел на фиксированной стороне. Эта сумма при каждом повороте будет увеличиваться или уменьшаться на 1, пробегая все промежуточные значения от наименьшей возможной величины n ( n 5 ) до наибольшей возможной величины N ( N 5 ), причем n + N = 10. Следовательно, при каком-то положении диаметра сумма чисел на фиксированной стороне окажется равной 5, т.е. на двух разделенных этим диаметром половинках круга сумма чисел одинакова. А это означает, что общие массы гирек, стоящие на этих половинках, равны. 5. Можно. Обозначим через n! произведение первых натуральных чисел от 1 до n: n ! = 1 2 3 K n . Отметив числа 10, 11, 12, ..., 9 !- 1 , 9!, получим
1 2 3 K 9 10 11 K 9!- 1 = 10 11 K 9 !- 1 9 !.

b

b

g

g

b

g

ден будет оставить либо брусок 1 Ч 1 Ч n , после чего он проигрывает, либо брусок 1 Ч m Ч n , 1 < m < n . В последнем случае Малыш своим очередным ходом оставляет брусок 1 Ч m Ч m , размеры которого меньше размеров предыдущего бруска. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получится кубик 1 Ч 1 Ч 1 , который Малыш съедает. Выигрышная стратегия Малыша состоит в следующем. Своим первым ходом Малыш оставляет брусок 2 Ч 2001 Ч 2002 . В ответ Карлсон не может оставить брусок 1 Ч 2001 Ч 2002 , 2 Ч 2001 Ч 2001 или 2 Ч 2001 Ч 2 , иначе своим очередным ходом Малыш оставит брусок, один из размеров которого равен 1, а два других одинаковы, после чего выигрывает. Предположим, Карлсон оставит брусок, заменив один из размеров предыдущего бруска числом р, 2 < p < 2001. Тогда p = =2q или p = 2q 1, где натуральное число q таково, что 2 q 1000 . В обоих случаях Малыш может сделать брусок 2 Ч 2q - 1 Ч 2q того же вида, что и брусок, который он оставил перед этим, но меньших размеров. Если Карлсон и дальше будет играть наилучшим образом, то Малыш в конце концов оставит ему брусок 2 Ч 3 Ч 4 . Несложно убедиться, что как бы Карлсон ни разрезал этот брусок, при правильной игре Малыша он обязательно проигрывает. 14. Продолжим стороны АН, ВС и FG до пересечения в точках M, N, K (рис.4). Покажем, что точка О центр вписан-

b

g

N

Конкурс 'Математика 68'
11. . Рассмотрим любой квадрат 15 Ч 15 . Его можно раз9 делить на 25 квадратов 3 Ч 3 . В каждом из них сумма чисел равна 5, поэтому сумма чисел во всем квадрате 15 Ч 15 равна 5 25 = 125 . С другой стороны, этот квадрат можно разделить на 9 квадратов 5 Ч 5 . Сумма в каждом из них одинакова, по125 этому она равна . 9 12. 16. Чем меньше использовано прямоугольников, тем меньше частей получится после разрезания. Без прямоугольников не обойтись. Действительно, если угол закрыт фигуркой из четырех клеток, то несколько других фигурок вырезаются однозначно, и соседние углы не попадают в фигурку (рис.2).
125

(см. 'Квант' ?6 за 2001 г.)

C Q B O

F R G

M
Рис. 4

A

P

H

K

Рис. 2

Рис. 3

Если вырезать один, два или три прямоугольника, то число оставшихся клеток не будет делиться на 4 и разрезание оставшейся части на фигурки из четырех клеток невозможно. Четырьмя прямоугольниками обойтись можно (рис.3). При этом получается 16 фигурок. 13. Выигрышную стратегию имеет Малыш. Сначала заметим, что если Малышу удастся оставить Карлсону брусок вида 1 Ч n Ч n , где n > 1, то Малыш обеспечивает себе победу. Действительно, в этом случае Карлсон своим ходом вынуж-

ной окружности треугольника MNK является центром описанной окружности шестиугольника. Обозначим через P, Q, R основания перпендикуляров, опущенных из точки О на стороны АН, ВС и FG соответственно. Из равенств углов: A = B , C = F и G = H следуют равенства длин отрезков: AP = BQ, QC = FR, RG = HP. Так как AP + HP = BQ + QC = FR + RG, то AP = BQ = QC = = FR = RG = HP и шесть прямоугольных треугольников OAP, OHP, OBQ, OCQ, OFR, OGR равны, т.е. равны их гипотенузы. Поскольку точки А, В, С, F, G, H находятся на одинаковом удалении от точки О, то эта точка является центром окружности, описанной вокруг шестиугольника ABCFGH. 2 2 15. Если справедливо равенство ab + ba = 0 или равносильное ему равенство ab a + b = 0 , то либо одно из чисел а или b равно нулю, либо a + b = 0. Несложно проверить, что в лю5 5 5 бом из этих случаев равенство a + b = a + b выполняется. 5 5 5 Пусть теперь справедливо равенство a + b = = a + b . До-

b

g

b

g

кажем, что в этом случае ab + ba = 0 . Здесь можно рассуждать по-разному. Первый способ. Предположим, что ни одно из равенств а = 0, b = 0, a + b = 0 не выполняется. Числа а и b не могут быть одного знака, поскольку в этом случае было бы справедливо 5 5 5 равенство a + b = a + b , что невозможно. Действительно, раскрывая скобки в правой части этого равенства, можно убедиться, что она больше левой.

2

2

b

g

d

i


ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

$

Если числа а и b разных знаков, то знак одного из чисел (а) или (b) совпадает со знаком суммы a + b, а знак другого числа противоположен ему. Пусть, для определенности, совпадают знаки чисел a + b и (а). Перепишем исходное равенство:

b

a+b

g + b-a g
5 5

5

=b .

5

Но в этом случае справедливо равенство

b

a+b
5

g + b - a g = db
5 5

a + b + -a

g b gi

5

,

что для чисел одного знака (a + b) и (а) невозможно. Итак, равенство a + b = a + b влечет выполнение одного из равенств а = 0, b = 0, a + b = 0 и, значит, справедливость равенства

b

g

5

ab + ba = 0.
Второй способ. Поскольку

2

2

b

a+b

то в случае

g =a b a + bg
5 4

5

+ 5 a b + 10a b + 10a b + 5ab + b , = a + b имеем
3 2 2 3 4 5 5

4

3

2

2

3

4

5

5

5 a b + 10a b + 10a b + 5ab = 0.

лой теплопроводностью, что ухудшает передачу тепла воде от нагревателя. 11. Поток тепла направлен в сторону убывания температуры, т.е. против указанной оси. 12. У сковороды большой площади центр нагрет сильнее, чем края; давление паров под интенсивно испаряющейся каплей больше со стороны, ближайшей к центру; разность давлений, 'выдавая' разность температур, и перемещает капли к краю. 13. Слева гипс, а справа стекло. В отличие от аморфного стекла, кристаллический гипс обладает анизотропией, т.е. проводит тепло неодинаково по разным направлениям. 14. Считая температуру на внутренней поверхности комбинезона равной температуре человеческого тела и полагая потоки тепла наружу одинаковыми, получим, что материал второго комбинезона, температура внешней поверхности которого ниже, имеет более низкую теплопроводность, а именно такую одежду мы и называем теплой. 15. В сторону потока жидкости. 16. Чем ниже температура масла, тем больше его вязкость, а значит, тем больше силы внутреннего трения. 17. Такую способность приобретает только очень густой, вязкий сироп, содержащий необходимое для длительного хранения количество сахара.

Преобразовав выражение в левой части этого равенства, получим
5 2 ab a + b

Микроопыт
Раньше успокоится воздух. Трение в движущемся воздухе очень мало, но прежде всего мала зависящая от плотности кинетическая энергия воздуха, которую он должен потерять. Вода же, обладающая много большей, чем воздух, плотностью, тормозится дольше, несмотря на большую вязкость.

b

geb

a +b

g

2

+a +b

2

2

j

= 0.

Последнее равенство имеет место лишь тогда, когда ab = 0 2 2 или a + b = 0. В любом из этих случаев ab + ba = 0.

Как найти сумму?
1. Из рисунка 1 статьи имеем 1 - r1
d1 = 2 r1 = 1 2 . Аналогично из
2 2 2

Калейдоскоп 'Кванта'
Вопросы и задачи
1. Молекулы паров растворителя за счет хаотического движения из-за столкновений с молекулами воздуха диффундируют на большие расстояния. 2. Иначе процесс растворения (диффузия) сахара затянется на долгое время. 3. В холодном, так как скорость диффузии водорода уменьшается при понижении температуры. 4. При сдавливании поверхностные слои деталей размягчаются, усиливается взаимная диффузия частиц и, как следствие, увеличиваются силы сцепления деталей. 5. Диффузия это самопроизвольное выравнивание концентраций различных веществ, отражающее стремление любой системы из большого числа частиц к хаотичному, беспорядочному их размещению. 6. Сначела более подвижные легкие молекулы, выравнивая свою концентрацию, быстрее продиффундировали сквозь перегородку вправо. Со временем тяжелые молекулы проникли в левую секцию, и давления сравнялись. 7. В пленке пузыря концентрация растворенного газа вблизи ее внутренней поверхности выше, чем вблизи внешней поверхности, поскольку растворимость газа зависит от его давления, а внутри пузыря оно больше, чем снаружи. Разность концентраций и является 'движущей силой' диффузионного потока. 8. В лед, так как наличие воздуха в снегу делает его менее теплопроводным. 9. Если их температура будет равна температуре той части тела, которой мы их касаемся. 10. На дне и стенках чайника образуется слой накипи с ма-

дим d2 = 1 6 . Индукцией по k найдем dk = 1 (k ( k + 1)) . 1 1 - = 2. mx x + 1 K x + m - 1 m x +1 K x + m 1 = . x x +1 K x + m 3.

b g + 1 = b1 + r g , откуда d1 - d - r i + 1 = d1 + r i нахо2 1 2 2 1 2 2

4. 5.

gb g b gb b gb g bk + 1gk b2k + 1g 6 - bk - 1gk b2k - 1g 6 bk + 1g k 4 - k bk - 1g 4 = k . F b x + 1g - F b x g = x . b g = x + xK x - m + - x 1g b 1g b bg xb x - 1gKb x - m g = b m + 1gx .
2 2 2 2 3 4 m +1 m

b

g

2 =k ,

4 6. Найдем, например, Sn . Поскольку


k =1

n

k

b4g

=

b

n +1 n n -1 n - 2 n - 3 5

gb

gb

gb

g

,

а
k

b4g

= k - 6 k + 11k - 6 k ,

4

3

2

то
Sn =
4

b

n+1 n n-1 n -2 n- 3

gb

gb

gb

- 11

b

n + 1 n 2n + 1 6

gb

5

g +6 b g
=

n +1 n

g

+6

b

n+1 n 2

n n + 1 2n + 1 3 n + 3 n - 1 30

b

4

g

2

2

-

gb

ge

2

j

.


$
Аналогично получаем
2

КВАНT 2002/?3

Sn = Sn =
3 2

5

n n +1

b

ge
2

2 n + 2n - 1

2

j

14. Воспользуйтесь равенствами ,
3

6

n n + 1 2n + 1 3 n + 6 n - 3 n + 1 42

b

gb

12

а) 2 sin

d 2 d

sin a + kd = cos a +

b

g

ge

j

.
3 2

б) 2 sin

7. 4 Q3 = 4 a n + 6 a dn n - 1 + 2ad n 2n - 3 n + 1 + d n n - 1 . 8. Воспользуйтесь формулой суммы n членов арифметической прогрессии.
(4 9. q ) (n ) =

b

g

2

e

2

j

b

g

2

2k + 1 2k - 1 d - si n a + d. cos a + kd = sin a + 2 2 2 15. Для решения п. а) воспользуйтесь замечением 1 статьи; a б) tg x = ctg x - 2ctg 2 x , положив x = k , получим 2 a a a tg k = ctg k - 2 ctg k -1 ; в) см. упражнение 11; 2 2 2 г) воспользуйтесь равенством

b

g

F GH F GH

2k - 1 2

d - cos a +

I JK I JK

F GH F GH

2k + 1 2

d;

I JK I JK

=

q-2 3!

bk + 1g +
b3g
n k =1 k =1

n

b

k +1 2

g

b2g

=

q-2 4!

b

n+2

g

b4g +

b

n+2 3!

g

b 3g

=

e1

- 2a cos x + a a sin kx =

2

j

k

= a sin kx - a
1 d

k

k +1

si n k + 1 x - a 1 k

=

n n +1 n + 2 4!

b

gb

g db

n-1 q -2 + 4 .

gb

gi

п. д) аналогичен п. г). 16. а) б)

b

g

k +1

sin k - 1 x + a 1 d

b

g

k +2

si n k x ;

10. Для m = 2, 3, 4 формула верна; предположим, что она верна для m = s , и вычислим s+1 ( ) n =
q

()

=


k =1

n



bsg
q

bk g

=

q-2 s!

b 2 bk + s - 2gb g + bk +bss - 1gg! - nb n + 1gK b n + s - 1g = b s + 1g! dbn - 1gb q - 2g
n s n k =1 k =1

s -1

g

=

+ s +1 .

i

3 1 1 1 1 = - , так как 2 . 4 k -1 2 k -1 k +1 17. Все утверждения, кроме случая г), доказываются простыми вычислениями; разберем п. г). Выпишем несколько чисел, отвечающих указанному разбиению: 1; 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19; ... Количество чисел, встречающихся до n-й группы, равно 1 + 2 + K + n - 1 = n n - 1 2 . А их сумма равна

F GH

1+

1 2

+K+

1 d

I JK

, так как

-

F GH

I JK

k+d

=

k k+d

b

g

;

11. Дважды примените формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. 12. Используйте равенство

b

a + kd a + k + 1 d K a + k + m d
=

gd b

gi d b gi 1F 1 G md G b a + kd gK d a + b H


1

=
-

; сумма всех чисел, вклю4 2 2 n n +1 . Откуда чая и n-ю группу, равна Sn = 4 3 S = Sn - Sn -1 = n .
-1

Sn

=

b

n-1 n 2

g b

b

n -1 n 2

g

gb
=

n n-1

2

b

g

g

2

b

g

Колебательный контур

k + m -1 d

gi
1

da + b
1 12

k +1 d K a + k + m 1

gi d b gb

Тогда n n ; 2) ; 1) 2 3n + 2 2n + 1 1 1 - 4) . 12 4 2n + 1 2 n + 3

I gd i JJK

1. Im = . 2. I0 = E 3. I0 = 4.

2q 5LC1 C . 3L

.

b

g

3)

-

2 n+2 n+3

b

g

;

q0 C1 + C2 C2
R

b

g
C L1

. LC1 + C2

b

g

b

13. 1) 2)

+ 2 2 n + 2n

1

b

gb

2n - 1 2 n + 1 2n + 3 6 - 1 4

gb

g

d2 - d1 d1

gb

g

.

;

(воспользуйтесь равенством

b

n+1

g

2

;

3)

2 n+2 n+3 1

b

2n + 3

gb

g g-b
k +1 k + 2 k + 3

VIII Российская олимпиада по астрономии и физике космоса
8 класс
1. Планеты выглядят наиболее яркими и поэтому наиболее удобными для наблюдений во время противостояний. Период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет около 12 лет (точнее, 11,86 года). Следовательно, через год он уйдет вперед примерно на 1/12 часть окружности, и Земля 'догонит' его за один месяц. Следовательно, наилучшая видимость будет в середине декабря. 2. В этот день склонение Солнца = +23,5њ. Поэтому пройти через зенит (а это и есть наибольшая высота) Солнце сможет только на широте тропика Рака, т.е. на широте = 23,5њ. 3. Допустимый 'уход' телескопа составляет 1?? за час, или

4) 6)
tg

7) 8)

g = bk + 1gb 1 1 - ; 5) log b n + 1g ; n! arctg n (пусть arctg bk + 1g = ba - bg = 1 + k b1k + 1g ); ctg x - ctg b n + 1g x ; tg b n + 1g x - tg x . b
k +1 k +2 k + 3
a

gb

k

gb

k+2

gb

3

gb

g

);

a , arctg k = b , тогда


ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

$!
= 3V
2

24?? за сутки. Во временнуй шкале это будет 24?? 15?? c =

свободного падения можно пренебречь, получаем
h =V
2

= 1,6 секунд времени за сутки. 4. Поскольку Сатурн в 9,54 раза дальше от Солнца, чем Земля, угловой диаметр солнечного диска, наблюдаемого с Сатурна, в 9,54 раза меньше, чем наблюдаемого с Земли: = 32 9, 54 3, 4 . Нужно определить, с какого из спутников Сатурна под таким же углом виден диск планеты. Приняв экваториальный диаметр Сатурна равным 120 тыс. км, найдем, что под углом 3, 4? он виден с расстояния

(2 g )

(

8 GR ) 160 м .

R = 120 тыс.км = 120 тыс.км 3,4? 3 43 8? рад =
= 120 тыс.км Ч 3438 3,4 ' 120 мнл км. (Заметим, что 3438 число, которое полезно запомнить : это соотношение между радианом и угловой минутой, или, проще говоря, 'число минут в радиане'.) Но такого далекого спутника у Сатурна нет, точнее говоря еще не открыто. Самый далекий среди известных Феба отстоит от Сатурна всего на 13 млн км. Поэтому правильный ответ: либо художник изобразил пока еще неизвестный спутник, либо он просто не задумывался об астрономической достоверности картины. 5. В течение года наклон земной оси практически не изменяется. Именно поэтому одну половину года к Солнцу сильнее обращено северное полушарие, а вторую половину года южное. В эти периоды года дни там длиннее и, главное, солнечные лучи более отвесно падают на землю и лучше ее нагревают. Это и есть причина смены времен года. 6. Свет далеких звезд, образующих Млечный Путь, очень слаб. При лунном сиянии Млечный Путь не виден.

2. Координаты данной звезды это координаты Солнца в точке летнего солнцестояния. Следовательно, звезда находится на эклиптике. Плоскость эклиптики не меняется со временем, так что звезда всегда будет на эклиптике. Точка весеннего равноденствия, от которой отсчитывается , совершает обход эклиптики за 26000 лет навстречу годовому движению Солнца. Поэтому через четверть периода прецессии (6500 лет) звезда будет иметь = 6 ч + 6 ч = 12 ч . Точка на эклиптике с таким это точка осеннего равноденствия. Итак, = 12 ч, = 0њ. 3. Для того чтобы видимая звездная величина Солнца увеличилась на Dm , необходимо, чтобы световой поток уменьшился в 10Dm 2,5 раз, следовательно, наблюдателю надо удалиться от Солнца в 10Dm 2,5 = 10Dm 5 раз. По третьему закону Кеплера квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты. Сравнивая нашу гипотетическую орбиту с орбитой Земли, получаем
12

(
откуда

TT XЗ

)2 = (

RX RЗ

)3 ,
3 D m 10

TX = TЗ Ч 10

Dm 5 3 2



= TЗ Ч 10

.

Разность звездных величин Луны и Солнца составляет
Dm = 12,7 (26,8) = 14,1.

Тогда
TX = 1 год 1031 4 ,1 1 0

9 класс
5. Да, может. Для этого планета должна иметь нулевой наклон экватора к плоскости орбиты, а сама орбита должна обладать заметным эксцентриситетом (т.е. должна заметно отличаться от круговой). Тогда сезоны, зависящие только от потока тепла, будут по всей планете определяться лишь ее положением на орбите, а значит, будут везде меняться синхронно. 6. Космонавт для перемещения по станции сначала должен оттолкнуться от стенки и получить при этом ускорение, а потом затормозить у другой стенки тоже получить ускорение. Если космонавт приобретает ускорение a, то 'все остальное' приобретает ускорение am M в противоположном направлении; таким образом, уровень микрогравитации на станции определяется характерной величиной ускорения космонавта и соотношением масс космонавта и станции. Принимая массу космонавта m = 70 кг, получаем m/M = 1/2000. Оценим характерные величины ускорений космонавтов. Очевидно, что они определяются силами, с которыми космонавты взаимодействуют с корпусом станции. На Земле при ходьбе эта сила составляет mg. Такая сила ускоряет человека с ускорением g, а станцию, соответственно, с ускорением 1 2 000 g = 500 mg ' 5 мм с2 . Это и есть возможный уровень микрогравитации на станции.

17000 лет.

4. 1) Герой романа был в северном полушарии Луны и, разумеется, на видимой ее стороне. 2) Луна была ближе к последней четверти. 3) На фоне Стрельца или (менее вероятно) Змееносца. 4) Скорее всего, была весна конец марта или апрель.

11 класс
1. Есть несколько способов, хотя все они не очень точные. Наиболее часто используются следующие: а) По светимости ярчайших звезд, которая в свою очередь определяется по их спектральному классу. Для молодых рассеянных скоплений ярчайшими являются голубые сверхгиганты класса O или B, для шаровых красные гиганты. б) По диаграмме 'звездная величина спектр (или цвет)', совмещая положение главной последовательности на этой диаграмме с ее положением на диаграмме ГерцшпрунгаРессела, построенной для скоплений (или отдельных звезд) с известным расстоянием. в) По цефеидам (если они наблюдаются в скоплении). 5. Видимый угловой размер звезд должен быть меньше разрешающей способности глаза, т.е. линейный размер (диаметр) изображений этих звезд на куполе не должен превышать L0 = R , где a разрешающая способность человеческого глаза в темноте (около 50?? ' 2, 5 Ч 10-4 рад), R радиус зала планетария. В нашем случае L0 = R 2, 5 10-4 5 м 1,25 мм. Размер изображения одной звезды, получаемого на куполе с помощью оптической системы, определяется двумя параметрами. Первый чисто геометрический, связанный с оптическим увеличением размера звезды при проецировании ее на купол. Если размер звезды на слайде l0 = 0,1 мм, то размер изображения L = l0 = l0 R r , где r расстояние от упомянутой дырочки в фольге до проецирующей линзы (по формуле линзы, 1/R + 1/r = 1/F). В нашем случае увели-

10 класс
1. Поскольку удар упругий, аппарат отскочит от поверхности с той же скоростью, с которой он ударился о нее. Чтобы оценить высоту подъема, необходимо оценить ускорение на поверхности:
g = GM R2 = G 4 3 R3

(

)

R2 = 4 3 GR .

Предполагая, что аппарат отскочит от астероида на небольшую высоту такую, что изменением величины ускорения


$"

КВАНT 2002/?3

чение не должно превышать 0 = L0 l0 , откуда находим, что фокусное расстояние системы должно быть не меньше

Кроссворд 'Физики и их открытия'
По горизонтали: 3. Эйнштейн. 5. Максвелл. 8. Малюс. 10. Лебедев. 11. Якоби. 15. Ган. 16. Циолковский. 17. Гук. 18. Архимед. 20. Вин. 21. Паскаль. 25. Галилей. 26. Мариотт. 30. Чедвик. 31. Перрен. 32. Араго. 33. Кеплер. 34. Томсон. 35. Фарадей. По вертикали: 1. Эйлер. 2. Майер. 4. Ньютон. 6. Евклид. 7. Зельдович. 9. Авогадро. 12. Бернулли. 13. Герике. 14. Капица. 19. Милликен. 22. Столетов. 23. Ферма. 24. Карно. 27. Вебер. 28. Юкава. 29. Герон.

F = R (0 + 1) = R ( L0 l0 + 1) Rl0 L0 =
= Rl0 (R ) = l0 40 см. Условие, вообще говоря, вполне выполнимое. Второй параметр дифракционный. Угловой размер расхождения пучка от точечного источника (находящегося вблизи фокуса объектива) равен D , где рабочая длина волны (порядка 500 нм, или 5 Ч 10-7 м), D диаметр объектива проецирующей оптической системы (т.е., именно тот диаметр, который нам надо найти). Размер изображения точечного источника на куполе радиусом R при этом составит R D . Таким образом, необходимо условие R D = R , откуда
D = 2 103 м = 2 мм.

Условие тоже вполне выполнимое. 6. Радиус орбиты в среднем за сутки составлял
R0 + h = 6371 км + 236 км = 6607 км ' 6, 6 Ч 106 м,

а изменение этого радиуса за сутки равно h = -2, 5 км -2, 5 103 м . Падение средней высоты орбиты происходит по причине потери станцией энергии из-за трения о верхние слои атмосферы. Будем рассматривать квазистационарный процесс: считать орбиту все время круговой, а работу сил трения A = FL сводить к изменению параметров этой круговой орбиты. Сила F = p t находится из следующих соображений: в течение каждого промежутка времени t о станцию ударяется масса ч = SV t в среднем неподвижных молекул ( плотность атмосферы на высоте полета станции). В результате упругих столкновений их скорость относительно станции меняется от V до +V, а относительно Земли от 0 до 2V. За время t станция передает молекулам импульс
p = ч 2V = 2SV 2 t .

Информацию о журнале 'Квант' и некоторые материалы из журнала можно найти в ИНТЕРНЕТЕ по адресам: Курьер образования http://www.courier.com.ru Vivos Voco! http://vivovoco.nns.ru (раздел 'Из номера') Московский детский клуб 'Компьютер' math.child.ru

Отсюда
F = p t = 2SV 2 .

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ
А.А.Егоров, Л.В.Кардасевич, С.П.Коновалов, А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

Значит, если за время = 24 ч станция пролетит расстояние L = V , работа сил трения составит
A = FL = 2SV 3 .

НОМЕР ОФОРМИЛИ
В.Н.Акатьева, Д.Н.Гришукова, В.В.Иванюк, А.Е.Пацхверия, Е.А.Силина, В.М.Хлебникова, П.И.Чернуский

С другой стороны, поскольку полная энергия станции равна E = -GMm 2 R0 + h , то изменение энергии станции за это время составит
E = - GMm (2 ( R0 + h + h

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР
Е.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА
Е.А.Митченко, Л.В.Калиничева

))

-

- GMm (2 ( R0 + h

(

))

)

h GMm 2 ( R0 + h

(

)

2

)

ЗАВЕДУЮЩАЯ РЕДАКЦИЕЙ
,

Л.З.Симакова
Регистрационное свидетельство ?0110473 Адрес редакции: 117296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, 'Квант', тел. 930-56-48 Отпечатано на Ордена Трудового Красного Знамени ГУП 'Чеховский полиграфический комбинат' Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций 142300 г.Чехов Московской области Заказ ?

где h отрицательная величина. Таким образом, E = - A , или
-2SV 3 = h GMm 2 ( R0 + h

(

)2

)

.

Отсюда

= -hGMm 4 ( R0 + h

(

)2

SV 3 ,

)

или, учитывая, что V 2 = GM ( R0 + h ) ,
= m h 4 S (GM

(

)12 (

R0 + h

)12

)

3, 9 10

-10

кг м3 .